Funzionaluccia

[FeddyStra]

Determinare tutte le possibili funzioni $ f(\cdot): \mathbb R \to \mathbb R $tali che $ f(xf(y)+x-f(x))=xy $ per ogni $ x,y \in \mathbb R $.

[exodd]

se dimostro che è iniettiva ho concluso
supponiamo che lo sia
$ xy=f(xf(y)+x-f(x))=f(yf(x)+y-f(y))=yx $
iniettiva, quindi
$ f(y)(x+1)+x=f(x)(y+1)+y $
cambio variabili x+1->x y+1->y
$ f(y-1)x+x-1=f(x-1)y+y-1 $
$ (f(x-1)+1)/x=a $ con a costante
$ f(x-1)=ax-1 $
cambio variabili x-1->x
$ f(x)=ax+a-1 $
verifica
$ f(xf(y)+x-f(x))=f(axy-a+1)=a^2xy-a^2+2a-1=xy $
$ xy=(a^2-1)/(a-1)^2 $
se a diverso da 1
$ xy=(a-1)/(a+1) $
impossibile perchè vale per ogni x e y
quindi a=1 e $ f(x)=x $

[Maioc92]

ci provo:
sostituiamo $ x=y=1 $ e otteniamo $ f(1)=1 $.
Ora sostituiamo $ x=1 $ e l'equazione diventa:
$ f(f(y)+1-f(1))=y $
ma poichè $ f(1)=1 $, la precedente diventa $ f(f(y))=y $. Quindi ricaviamo che $ f $ è bigettiva
Ora poniamo $ y=1 $ e abbiamo che $ f(2x-f(x))=x $
Però sappiamo che $ x=f(f(x)) $, quindi facciamo l'ennesima sostituzione e otteniamo $ f(2x-f(x))=f(f(x)) $
Ma poichè $ f $ è iniettiva possiamo semplificare le $ f $ più esterne e ottenere in conclusione che $ f(x)=x $ è l'unica funzione che soddisfa l'equazione.

Può andare o ho sbagliato qualcosa?

[Maioc92]

no sono stato preceduto!!!!!!Però potete guardarla lo stesso e dirmi se funziona per favore?

[exodd]

dimostrata l'iniettività:
supponiamo ci siano $ x_1,x_2 $reali, diversi tra loro, tale che
$ f(x_1)=f(x_2) $
abbiamo che
$ yx_1=f(yf(x_1)+y-f(y))=f(yf(x_2)+y-f(y))=yx_2 $
impossibile, quindi iniettiva

[exodd]

sono stato io che sono stato preceduto!
è bella e giusta la tua soluzione, Maioc

[Maioc92]

sono stato io che sono stato preceduto!
è bella e giusta la tua soluzione, Maioc

grazie, anche la tua mi è piaciuta!!!!!!!Pensavo di essere stato preceduto perchè non l'ho letta subito ma comunque l'hai completata quasi subito dopo