Dimostrare che $ \sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} + \sqrt{4d + 1} < 6 $ con $ a + b + c + d = 1 $ e $ (a,b,c,d) \in \mathbb{R}_+^4 $.
In fin dei conti non è tanto difficile,perciò lasciatela ai meno esperti
Disuguaglianza
Disuguaglianza
Se è una disuguaglianza, per facile che sia (e non vergognatevi a postare problemi facili, ché i principianti ne hanno bisogno), va in algebra -- HarryPotter
Dimostrare che $ \sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} + \sqrt{4d + 1} < 6 $ con $ a + b + c + d = 1 $ e $ (a,b,c,d) \in \mathbb{R}_+^4 $.
In fin dei conti non è tanto difficile,perciò lasciatela ai meno esperti
Dimostrare che $ \sqrt{4a + 1} + \sqrt{4b + 1} + \sqrt{4c + 1} + \sqrt{4d + 1} < 6 $ con $ a + b + c + d = 1 $ e $ (a,b,c,d) \in \mathbb{R}_+^4 $.
In fin dei conti non è tanto difficile,perciò lasciatela ai meno esperti
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
$ 4\sqrt2<6 $
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
ok ma se hai $ a \neq b \neq c \neq d $ come fai?FeddyStra ha scritto:$ 4\sqrt2<6 $
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: Disuguaglianza
Proviamo ad elevare al quadrato.
$ 4(a + b + c + d + 1) + 2\sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 36 $
Ma $ 4(a + b + c + d + 1) = 4*2 = 8 $. Sposto al secondo membro e semplifico per 2.
$ \sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 14 $
EDIT: Ho fatto una cazzata, ho dimenticato di elevare al quadrato anche il secondo membro
EDIT2: Risistemato l'errore, ma non mi esce U_U
$ 4(a + b + c + d + 1) + 2\sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + 2\sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + 2\sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 36 $
Ma $ 4(a + b + c + d + 1) = 4*2 = 8 $. Sposto al secondo membro e semplifico per 2.
$ \sqrt{(4a + 1)(4b + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4a + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4c + 1)} + \sqrt{(4b + 1)(4d + 1)} + \sqrt{(4c + 1)(4d + 1)} < 14 $
EDIT: Ho fatto una cazzata, ho dimenticato di elevare al quadrato anche il secondo membro
EDIT2: Risistemato l'errore, ma non mi esce U_U
Vediamo se mi riesce. Io vado di AM-QM
$ QM=\sqrt{\frac{(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1)}{4}}=\sqrt{\frac{4(a+b+c+d)+4}{4}}=\sqrt{\frac{4+4}{4}}=\sqrt{2} $
Ora è ben noto che $ AM\leq QM $ Ma Am non è altro che la somma di radici al primo membro della disuguaglianza data, diviso 4. Chiamata tale somma S abbiamo che
$ S\leq 4QM $ ovvero $ S\leq 4\sqrt{2} $.
Essendo $ 6>4\sqrt{2} $ la disuguaglianza è verificata.
Ditemi se il ragionamento può andare! PS mi sono inventato il codice LaTex per minore o uguale, non so se funzionerà!
$ QM=\sqrt{\frac{(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)+(4d+1)}{4}}=\sqrt{\frac{4(a+b+c+d)+4}{4}}=\sqrt{\frac{4+4}{4}}=\sqrt{2} $
Ora è ben noto che $ AM\leq QM $ Ma Am non è altro che la somma di radici al primo membro della disuguaglianza data, diviso 4. Chiamata tale somma S abbiamo che
$ S\leq 4QM $ ovvero $ S\leq 4\sqrt{2} $.
Essendo $ 6>4\sqrt{2} $ la disuguaglianza è verificata.
Ditemi se il ragionamento può andare! PS mi sono inventato il codice LaTex per minore o uguale, non so se funzionerà!
-
GioacchinoA
- Messaggi: 137
- Iscritto il: 13 feb 2009, 15:44
- Località: Bari
In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $... 
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
-
GioacchinoA
- Messaggi: 137
- Iscritto il: 13 feb 2009, 15:44
- Località: Bari
Cauchy-Schwarz è:Fedecart ha scritto:Non l'ho capita... Con Cauchy non avevi i quadrati?
$ (a_1b_1 + ... + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2) $
Io ho usato $ 1/2 $ Cauchy. Infatti estraendo le radici viene
$ (a_1b_1 + .... a_nb_n) \leq \sqrt{a_1^2+...+a_n^2}\sqrt{b_1^2+...+b_n^2} $
Poi gli $ a_i $ sono tutti $ 1 $ , i $ b_i $ sono le radici della traccia e viene:
$ LHS \leq \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{4a+1+4b+1+4c+1+4d+1} $
E poi si continua come sopra
Infatti, il suggerimento di FeddyStra è stato illuminanteFeddyStra ha scritto:In ogni caso, come avevo fatto notare, il punto cruciale è proprio $ 4\sqrt2<6 $...
-
exodd
- Messaggi: 728
- Iscritto il: 09 mar 2007, 19:46
- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
bè, se notate con cauchy si dimostra QM-AM e con QM-AM si dimostra cauchy..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
