Domande su una funzione

[dario2994]

Spostato in Algebra, in quanto si tratta di una equazione funzionale, che è un problema algebrico. ---HP

Ho un problema... riesco a ricondurre una funzionale a:
$ f(f(x))=x+K $
Con K costante (può anche essere nulla...)... da qui cosa si può concludere??? Io ho immaginato che quando K è nulla vanno bene moltissime funzioni, mentre quando non è nulla l'unica funzione ammissibile è
$ f(x)=x+\frac{K}{2} $
Ma non saprei proprio come dimostrarlo (non so neppure se è vero xD)
Spero che qualcuno sappia togliermi i dubbi.

[jordan]

Nel caso di k nullo questo può interessarti..

[dario2994]

Il caso con K nullo risulta "facile" da risolvere ;) perchè c'è una condizione in più... ma quello con K non nullo non so come risolverlo :|

[dario2994]

Riguardando il problema da cui ho preso questo quesito sono riuscito a ottenere questo specie di sistema di funzioni :
$ f(f(x))=x+K+Z\par f(x+K)=f(x)+Z $

Ma non riesco comunque a concludere xD Qualcuno mi può aiutare a trovare quali funzioni soddisfano il sistema...

[Maioc92]

forse è meglio se posti tutto l'esercizio invece che solo dei pezzi......magari ci sono altre ipotesi che non hai utilizzato. Comunque a me sembra l'ultimo di algebra del preImo2007, ma forse mi sbaglio. Se però è davvero quello ti serve ricondurlo a una equazione simil-Cauchy e poi utilizzare una funzione ausiliaria

[Tibor Gallai]

Dimostra intanto che f è bigettiva e che K=Z.
Comunque nota che senza richiedere la monotonia o altre cose, esistono un bel po' di f non lineari che soddisfano il tuo sistema.

[dario2994]

Alur... avete ragione tutti xD
Il problema originale è proprio quello del preimo 2007... io ho postato solo questa versione mini perchè pensavo che fosse da qui che si doveva concludere...
Che è bigettiva l'ho dimostrato ;)
Il problema originale è:
$ f(x+f(y))=f(x)+y+7 $
Ma io non sono riuscito a cavarne fuori una mazza :| Mi spiegate come si può ricondurre questa a Cauchy... non riesco mai a risolverle ste funzionali xD

[Tibor Gallai]

Ah ok, avevi sostituito x=0 e y=0, lol. Forse ti serve qualcosa di più.
A questo punto sai che f è bigettiva, e poi puoi vedere se è vero che f(0)=7.
Da lì poi è abbastanza facile.

[Maioc92]

A questo punto sai che f è bigettiva, e poi puoi vedere se è vero che f(0)=7.

come fai a vederlo?
Comunque a dire il vero mi sfugge la facilità dell'esercizio.......

[dario2994]

A parte che leggendo la soluzione non commentata viene che f(0) non è solo 7... ma se arrivassi a sapere f(0) non saprei lo stesso come concludere... vi prego qualcuno mi può aiutare... magari qualcosa di più di quello che ha detto tibor... dato che non so che altro fare oltre a sostituire x,y con valori particolari :|

[SkZ]

posto $ ~y=x $ e $ ~z=x+f(x) $
$ ~f(x+f(x))=f(x)+x+7 \quad \Rightarrow\quad f(z)=z+7 $

[Tibor Gallai]

FERMI TUTTI!!!!
Sono andato a vedere il pdf con il testo, e dice che f è dai RAZIONALI ai RAZIONALI. Questo è un dettaglio fondamentale, perché basta ricondursi all'equazione di Cauchy per determinare completamente le soluzioni. Se fosse dai reali ai reali servirebbero monotonia o limitatezza in un intervallo, o continuità in un punto, etc.
Nel nostro caso, poiché si perviene facilmente con qualche sostituzione a f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y), l'esercizio è concluso (in che modo?).

posto $ ~y=x $ e $ ~z=x+f(x) $
$ ~f(x+f(x))=f(x)+x+7 \quad \Rightarrow\quad f(z)=z+7 $

Quindi f(z)=z+7 per tutti gli z della forma x+f(x), che purtroppo non sono necessariamente tutti gli z.

f(0) non è solo 7...

Vero, è anche -7, errore mio.

[Maioc92]

visto che siamo in topic colgo l'occasione per fare 1 domanda:
è sempre possibile fare delle sostituzioni con funzioni ausiliarie o dobbiamo avere delle condizioni particolari?

[Tibor Gallai]

Che cappero significa??
Scusa il rigurgito spontaneo, ma non capisco il senso.


EDIT:
ok ok.
santa pazienza...
ora mi impegno.

Perdona la mia completa incapacità di capire la tua domanda ben posta. Puoi gentilmente somministrarmi un esempio o due, per sopperire alla mia demenza?

[Nonno Bassotto]

Tibor...