Scusate se ultimamente rompo molto le scatole, ma sto studiando le disuguaglianze e mi piacerebbe avere un chiarimento:
volevo chiedere se esiste una dimostrazione dell'enunciato generale di Jensen (per intenderci,quello che fornisce wikipedia qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Jensen) a partire dall'enunciato base, ovvero
$ f(\lambda a+(1-\lambda)b)\le \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b) $
(che mi pare aver capito essere la definizione stessa di convessità)
o,ancora più semplice
$ \displaystyle f(\frac {a+b} 2) \le \frac {f(a)+f(b)} 2 $
Ho provato a cercare su internet ma non ho trovato nulla.....
Enunciato generale di Jensen
Enunciato generale di Jensen
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
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exodd
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- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
su come si ci arriva a jensen lo puoi capire solo se sai come si dimostra quelle due formule che hai scritto
un aiuto:
disegnati una funzione convessa (la più classica è 1/x)
quindi prendi 2 punti sulla curva e uniscili
calcolati le coordinate del punto medio del segmento
prendi l'ascissa del punto medio e fai f(x)
visto che la curva sta sotto il segmento, f(x) sarà minore dell'ordinata del punto medio
hai trovato la seconda formula che hai scritto
per trovare la prima, fai il ragionamento analogo, considerando, invece del punto medio, un punto che sta a "lambda" del segmento (1/3,1/4..)
ti viene la prima formula che hai scritto
un aiuto:
disegnati una funzione convessa (la più classica è 1/x)
quindi prendi 2 punti sulla curva e uniscili
calcolati le coordinate del punto medio del segmento
prendi l'ascissa del punto medio e fai f(x)
visto che la curva sta sotto il segmento, f(x) sarà minore dell'ordinata del punto medio
hai trovato la seconda formula che hai scritto
per trovare la prima, fai il ragionamento analogo, considerando, invece del punto medio, un punto che sta a "lambda" del segmento (1/3,1/4..)
ti viene la prima formula che hai scritto
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Per quanto riguarda $ $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{f(a)+f(b)}{2} $ conosco una soluzione (che usa però concetti di analisi).
Consideriamo una funzione $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ e un intervallo $ ]a,b[ $ nel campo di esistenza della funzione tale che per ogni $ ~x $ nell'intervallo la funzione è derivabile due volte e la derivata seconda sia nonnegativa ($ f''(x)\ge0 $).
Per il teorema del valor medio, $ \exists x_1\in\left]a,\dfrac{a+b}{2}\right[ $ t.c. $ f'(x_1)=\dfrac{f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\dfrac{a+b}{2}-a} $ e allo stesso modo $ \exists x_2\in\left]\dfrac{a+b}{2},b\right[ $ t.c. $ f'(x_2)=\dfrac{f(b)-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}{b-\dfrac{a+b}{2}} $
Poiché $ f''(x)\ge0 $, $ ~f' $ è una funzione non decrescente, dunque poiché $ ~x_2\ge x_1 $, allora $ f'(x_2)\ge f'(x_1) $, ovvero
$ \dfrac{f(b)-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}{b-\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\dfrac{a+b}{2}-a} $
I due denominatori sono uguali e dopo averli tolti resta la tesi.
Consideriamo una funzione $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ e un intervallo $ ]a,b[ $ nel campo di esistenza della funzione tale che per ogni $ ~x $ nell'intervallo la funzione è derivabile due volte e la derivata seconda sia nonnegativa ($ f''(x)\ge0 $).
Per il teorema del valor medio, $ \exists x_1\in\left]a,\dfrac{a+b}{2}\right[ $ t.c. $ f'(x_1)=\dfrac{f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\dfrac{a+b}{2}-a} $ e allo stesso modo $ \exists x_2\in\left]\dfrac{a+b}{2},b\right[ $ t.c. $ f'(x_2)=\dfrac{f(b)-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}{b-\dfrac{a+b}{2}} $
Poiché $ f''(x)\ge0 $, $ ~f' $ è una funzione non decrescente, dunque poiché $ ~x_2\ge x_1 $, allora $ f'(x_2)\ge f'(x_1) $, ovvero
$ \dfrac{f(b)-f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)}{b-\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-f(a)}{\dfrac{a+b}{2}-a} $
I due denominatori sono uguali e dopo averli tolti resta la tesi.
Questo lo sapevo anche perchè dopotutto fin qui mi sembra abbastanza intuitivo...exodd ha scritto:su come si ci arriva a jensen lo puoi capire solo se sai come si dimostra quelle due formule che hai scritto
un aiuto:
disegnati una funzione convessa (la più classica è 1/x)
quindi prendi 2 punti sulla curva e uniscili
calcolati le coordinate del punto medio del segmento
prendi l'ascissa del punto medio e fai f(x)
visto che la curva sta sotto il segmento, f(x) sarà minore dell'ordinata del punto medio
hai trovato la seconda formula che hai scritto
per trovare la prima, fai il ragionamento analogo, considerando, invece del punto medio, un punto che sta a "lambda" del segmento (1/3,1/4..)
ti viene la prima formula che hai scritto
Questo in effetti è interessante, grazie per averlo postato!!!!pak-man ha scritto: Per quanto riguarda conosco una soluzione (che usa però concetti di analisi).
Consideriamo una funzione e un intervallo nel campo di esistenza della funzione tale che per ogni nell'intervallo la funzione è derivabile due volte e la derivata seconda sia nonnegativa ().
Però quello che chiedevo io non è come si dimostra Jensen a partire dall'altra definizione di convessità(derivata seconda >=0),ma come si dimostra l'enunciato generale che c'è su wikipedia a partire da uno dei due enunciati più semplici che ho postato sopra. Qualcuno conosce la dimostrazione?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Induzione
Metti che hai i tuoi punti: $ x_1,\ldots,x_n $
E una loro combinazione lineare convessa: $ w_1x_1 + \ldots + w_nx_n $ con $ \sum w_i = 1 $
Questa combinazione la puoi considerare come: $ \alpha (v_1x_1+\ldots+v_{n-1}x_{n-1}) + \beta x_n $, per opportuni $ \alpha + \beta = 1, v_1+\ldots + v_{n-1} = 1 $.
In questo modo puoi ottenere Jensen con n termini usando Jensen con n-1 termini e Jensen con 2 termini.
Lascio a te riempire i dettagli...
Metti che hai i tuoi punti: $ x_1,\ldots,x_n $
E una loro combinazione lineare convessa: $ w_1x_1 + \ldots + w_nx_n $ con $ \sum w_i = 1 $
Questa combinazione la puoi considerare come: $ \alpha (v_1x_1+\ldots+v_{n-1}x_{n-1}) + \beta x_n $, per opportuni $ \alpha + \beta = 1, v_1+\ldots + v_{n-1} = 1 $.
In questo modo puoi ottenere Jensen con n termini usando Jensen con n-1 termini e Jensen con 2 termini.
Lascio a te riempire i dettagli...