Domande su una funzione

[Tibor Gallai]

Allora va bene.

EDIT:
No, mica tanto bene:

per chi non ha *mai* partecipato ad uno stage a Pisa (Senior, PreIMO o Winter Camp), *e frequenta un anno di corso minore od uguale al terzo*, sono gli esercizi assegnati come lavoro singolo al PreIMO *2007* (duemilasette);

Brutti fannulloni.

[Tibor Gallai]

Aggiornamento: ho visto che sul pdf del sito di Gobbino c'è anche un accenno di soluzione a pag. 13, dove suggerisce un paio di metodi (ma ovviamente lo sapevate... (? ?)). C'è press'a poco il mio, ed un altro un po' più veloce, che vi vado a narrare.

Evitiamo il passaggio con f(f(f(x))), e facciamo direttamente la sostituzione y:=f(z). Arrivati a $ f(x+z+7)=f(x)+f(z) $, possiamo dire subito f(x):=g(x+7), e zac!

$ g(x+z+14)=g(x+7)+g(z+7) $,

che previa sostituzione x:=x-7, z:=y-7 si riduce nuovamente a Cauchy. Come ormai sarà ovvio, anche qui vanno fatte più o meno esplicitamente tutte le considerazioni su campi di esistenza e menate varie che dicevo prima.

[fph]

Per il (3), anche il link di fph è utilissimo, e forse spiegato meglio di wikipedia.

Se mi dicevi che era spiegato peggio della wikipedia italiana mi offendevo seriamente.

[Tibor Gallai]

No no, ma FeddyStra linkava quella inglese...
Quantunque anche quella italiana sia fatta a modo, su questo argomento. La prima parte è tradotta pari pari dall'inglese, la seconda salta la discussione delle soluzioni non lineari e mette le equazioni analoghe coi prodotti, etc.

Però da nessuna parte trovo una condizione sufficiente per la linearità che forse è utile quanto le altre (monotonia, continuità, etc), e cioè che
$ x>0 \implies f(x)>0 $.

[edriv]

La condizione più potente è che, disegnando il grafico della funzione, ci sia almeno un piccolo cerchietto del piano che resta bianco. Se vale questa condizione, ogni funzione lineare è una retta.

[Tibor Gallai]

Se vale questa condizione, ogni funzione lineare è una retta.

Ogni funzione lineare è una retta anche se non vale la condizione...
(che soddisfazione, sto puntualizzando una frase di edriv! )

Voglio dire che per definizione di linearità si richiede anche che f(ax)=af(x).

Comunque ricordo che la condizione più forte che hai enunciato è verissima, ma a volte uno cerca dei modi semplici per poterla verificare su un'equazione funzionale. Quindi la monotonia può essere facile da verificare, e secondo me anche la positività, in qualche caso pratico (o "permanenza del segno", per dirla meglio).