schur nel caso piu facile

[jordan]

"Siano dati $ a,b,c>0 $ allora $ \displaystyle \sum_{cyc}{a(a-b)(a-c)} \ge 0 $"
Per chi non avesse un po di familiarità con le disuguaglianze quella è schur con $ r=1 $ ed è abbastanza famosa direi..

Be, dimostratela solo con la AM-GM (e indivinate chi ci ha pensato?)

[spugna]

Be, dimostratela solo con la AM-GM (e indivinate chi ci ha pensato?)

E' proprio necessario?
Per simmetria si può porre $ a \ge b \ge c $(1). Considerati i primi due membri dell'espressione $ a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) $ si può raccogliere a fattore comune il binomio $ a-b $,ottenendo
$ (a-b)[a(a-c)-b(b-c)]+c(c-a)(c-b) $
L'ipotesi (1) permette di affermare che:
$ a-b \ge 0 $(2)
$ a-c \ge b-c \Rightarrow a(a-c) \ge b(b-c) \Rightarrow a(a-c)-b(b-c) \ge 0 $(3)
$ c-a \le c-b \le 0 $(4)
Dalla (2) e dalla (3) si deduce che il primo termine dell'espressione è positivo perchè è il prodotto di due numeri positivi,mentre dalla (4) si deduce che il secondo termine ha la stessa proprietà,perchè è il prodotto di tre numeri,di cui uno positivo e due negativi
Nota: ho escluso il caso in cui uno di questi fattori sia nullo perchè in tal caso il valore dell'intero prodotto sarebbe $ 0 $ e la disuguaglianza $ 0 \ge 0 $ è ovviamente vera.
Indicando con $ x $ e $ y $ i due termini,si ha
$ x \ge 0 \wedge y \ge 0 \Rightarrow x+y \ge 0 $. Ma $ x+y $ è il primo membro dell'uguaglianza iniziale,perciò la tesi è dimostrata

[jordan]

Senonchè la dimostrazione che hai messo te la conosciamo tutti..

[spugna]

scusa.....

[jordan]

Non è che devi scusarti, anzi.. è che il testo chiedeva di una soluzione un po diversa.. ps. e da tutto il tempo che è passato già è tanto se la ricordo