Il magico 89

[fph]

Siano $ F_n $ i numeri di Fibonacci.
Quanto fa
$ \displaystyle\sum_{i=2}^\infty F_n 10^{-n}? $

[Enrico Leon]

Fa $ F_n10^{-n}\infty $

[jordan]

Fa $ F_n10^{-n}\infty $

Se n>0



Stabiliamo l'insieme di convergenza della serie $ \displaystyle f(x): =\sum_{i=2}^{\infty}{\frac{F_i}{x^i}} $ con $ x \neq 0 $.
Dalla formula di Binet (vedi qui) vediamo che converge sse $ |x|>\frac{1+\sqrt{5}}{2} $.
Torniamo al problema, abbiamo:
$ f(x)=\frac{1}{x^2}(\frac{1}{x}+f(x))+\frac{1}{x}(\frac{1}{x}+f(x)) $. Per cui $ f(x)=\frac{x+1}{x(x^2-x-1)} $, in particolare $ f(10)=\frac{11}{10\cdot 89} $.

[Haile]

Torniamo al problema, abbiamo:
$ f(x)=\frac{1}{x^2}(\frac{1}{x}+f(x))+\frac{1}{x}(\frac{1}{x}+f(x)) $.

Potresti spiegare questo passaggio? O meglio. È chiarissimo in che modo porti alla soluzione, ma... da dove esce?

[jordan]

Va bien, cerco di chiarirlo..

$ \displaystyle \sum_{i=2}^{\infty}{\frac{F_i}{x^i}}=x^{-2}(F_0+\frac{F_1}{x}+\sum_{i=4}^{\infty}{\frac{F_{i-2}}{x^{i-2}}})+x^{-1}(\frac{F_1}{x}+\sum_{i=3}^{\infty}{\frac{F_{i-1}}{x^{i-1}}}) $

Adesso quelle tre sommatorie dovrebbero essere uguali..

[albert_K]

Perchè si parte da 2?
A me viene

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathcal{F}_n}{k^n} = \frac{k}{k^2-k-1} $ per ogni k per cui la serie converge

[jordan]

Perchè si parte da 2?

Perchè Dio esiste?

A me viene

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathcal{F}_n}{k^n} = \frac{k}{k^2-k-1} $ per ogni k per cui la serie converge

Per k=1 converge?
ps. comunque bentornato!

[Tibor Gallai]

Perchè Dio esiste?

Perché altrimenti Babbo Natale non potrebbe fare il giro del mondo in una notte su una slitta trainata da renne volanti.

[Carlein]

Mi è venuta in mente una metodo piuttosto strambo per risolverlo grazie a due cose:una cosa simpatica che lega potenze di una matrice e fibonacci che lessi su un bellissimo blog di un mathlinker,e il ricordo di aver letto che fph si occupa di algebra lineare.
Il fatto è che $ \left|\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right| $ nelle sue potenze genera i fibonacci, ossia la sua potenza n-esima ridà $ \left|\begin{array}{cc}F_n&F_{n-1}\\F_{n-1}&F_{n-2}\end{array}\right| $ e quesgto è simpatico perchè se facciamo la potenza n-esima di $ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| $ la prima entrata è proprio il termine ennesimo della serie. Ma il vantaggio ora è che la somma delle potenze n-esime di questa matrice è una somma geometrica. Purtroppo non ho davvero tempo, perchè domani ho un esame, ma lascio la famosa metàsoluzione e se non trovate errori(non sono ancora affatto sicuro che sia giusta) poi la metto apposto ammodino. L'idea è dunque di sfruttare che quella è come una serie geometrica e moltiplicare la somma dei primi n termini per $ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| -id $ ed avere la potenza n+1 esima della matrice -$ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| $. Da lì passare al limite ed avere che la potenza n+1 esima della matrice se ne va a 0...e rimane- $ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| $. Quindi basta calcolare -l'inversa di $ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| -id $ e moltiplicarla per $ \left|\begin{array}{cc}1/10&1/10\\1/10&0\end{array}\right| $ : il risultato nella prima posizione ridà(spero) il valore della serie.
Ok so che non si scrivono così le cose....solo che sono molto curioso di sapere se l'impostazione è giusta(cosa di cui non sono sicuro ancora avendo fatto in fretta e furia, e non avendo verificato nemmeno un calcolo)...che poi prometto che nel caso riscrivo tutto ammodino...nel caso torna la trovo una cosa piuttosto interessante...torno a studiare...ciao!
edit:ok...ho fatto un paio di aggiustini alla versione precedente...ad ogni modo domani o poco dopo, texxo tutto e riporto esplicitamente tutti i calcoli.

[Haile]

Va bien, cerco di chiarirlo..

$ \displaystyle \sum_{i=2}^{\infty}{\frac{F_i}{x^i}}=x^{-2}(F_0+\frac{F_1}{x}+\sum_{i=4}^{\infty}{\frac{F_{i-2}}{x^{i-2}}})+x^{-1}(\frac{F_1}{x}+\sum_{i=3}^{\infty}{\frac{F_{i-1}}{x^{i-1}}}) $

Adesso quelle tre sommatorie dovrebbero essere uguali..

(Anche se non mi sarebbe venuta quest'idea nemmeno se Fibonacci Leonardo in persona me l'avesse dettata in sogno) Ho capito. grazie

[edriv]

Va bien, cerco di chiarirlo..

$ \displaystyle \sum_{i=2}^{\infty}{\frac{F_i}{x^i}}=x^{-2}(F_0+\frac{F_1}{x}+\sum_{i=4}^{\infty}{\frac{F_{i-2}}{x^{i-2}}})+x^{-1}(\frac{F_1}{x}+\sum_{i=3}^{\infty}{\frac{F_{i-1}}{x^{i-1}}}) $

Adesso quelle tre sommatorie dovrebbero essere uguali..

(Anche se non mi sarebbe venuta quest'idea nemmeno se Fibonacci Leonardo in persona me l'avesse dettata in sogno) Ho capito. grazie

In realtà non è così assurda come idea e può venir benissimo anche in assenza di massicce dosi di dimetiltriptamina. La successione di Fibonacci è definita da due cose:
- le condizioni iniziali $ F_0 = F_1 = 1 $
- la relazione di ricorrenza $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $
di queste due cose, è chiaro che la più importante è la seconda. Data un'aggeggio da valutare come questo:
$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{F_k}{10^k} $
proprio senza neanche pensare... una cosa che si potrebbe fare è applicare proprio la relazione di ricorrenza. Come? Beh non è difficile capire come... basta scriverla dentro.
$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{F_k}{10^k} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{F_{k-1}}{10^k} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{F_{k-2}}{10^k} $
a questo punto bisogna avere un po' di colpo d'occhio e dire:
"beh, se prima avevo la somma dei fibonacci fratto 10^n, adesso è come se avessi la somma dei fibonacci fratto 10^{n+1} e la somma dei fibonacci fratto 10^{n+2}"
e dire:
"beh la somma dei fibonacci fratto 10^{n+1} in fondo non sarà una cosa troppo diversa dalla somma dei fibonacci fratto 10^n"
"anzi, a dire il vero questa somma è praticamente un decimo della somma originale (stando attenti agli indici che potrebbero aggiungere qualche costante)"

Quindi applicando la relazione di ricorrenza abbiamo ottenuto un' equazione del tipo:
[somma da valutare] = [circa quella somma] + [circa quella somma]
e a questo punto, con degli strumenti standard (spostare addendi, raccogliere fattori, dividere) riusciamo a trovare quanto deve valere quella somma.

[albert_K]

Perchè si parte da 2?

Perchè Dio esiste?

Chi l'ha detto?

A me viene

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathcal{F}_n}{k^n} = \frac{k}{k^2-k-1} $ per ogni k per cui la serie converge

Per k=1 converge?

No, perchè? Come hai detto converge per k con $ |k|>\phi $

ps. comunque bentornato!

Grazie! Comunque è giusta la formula no?

[fph]

Mi è venuta in mente una metodo piuttosto strambo per risolverlo grazie a due cose:una cosa simpatica che lega potenze di una matrice e fibonacci che lessi su un bellissimo blog di un mathlinker,e il ricordo di aver letto che fph si occupa di algebra lineare.

Mi sembra che funzioni tutto, buona l'idea. Coraggio, mi sa proprio che l'algebra lineare sarà la prossima frontiera delle olimpiadi (come dovrebbe aver presente chi ha fatto il problema delle lampadine del preIMO ).

[jordan]

Perchè Dio esiste?

Perché altrimenti Babbo Natale non potrebbe fare il giro del mondo in una notte su una slitta trainata da renne volanti.

Risposta esatta, hai vinto un milione di patate!
Ah ma che è quella nuova foto satanica che hai messo?

In realtà non è così assurda come idea e può venir benissimo anche in assenza di massicce dosi di dimetiltriptamina.

Come fai a essere a conoscenza di sostanze cosi impronunciabili? Comunque quoto in pieno il tuo messaggio

...per ogni k per cui la serie converge

Eh appunto, non era per ogni k..

Come hai detto converge per k con $ k>\phi $?

Lontano dagli estremi è sufficiente ragionare asintoticamente, vicino agli estremi mi dicono dalla regia ( ) che è necessario invocare cannoni quali il teorema di Abel, ma per il quale personalmente non so dare adeguata giustificazione..
In ogni caso qui sarebbe sufficiente $ F_n \le 2^n $

Comunque è giusta la formula no?

Buh, non so, ma non credo sia quello l'importante..

[albert_K]

Non capisco. E' semplicemente una serie geometrica, o meglio la somma di due ed è semplice dete. Lasciamo perdere il fatto che converga come funzione.
Semplicemente sostituendo k con 10 e sottraendo $ \frac{\mathcal{F}_1}{10} $ si ottiene il risultato.