Cresce troppo lentamente

[stefanos]

Sia $ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $ una funzione per cui esista una costante $ $K\in\mathbb{R}$ $ tale per cui, per ogni $ $(x, y)\in\mathbb{R}^2$ $, si abbia
$ $\left\lvert f(x) - f(y) \right\rvert \le K (x-y)^2.$ $

Dimostrare che $ $f(\cdot)$ $ e` costante.

[kn]

Perché la disequazione abbia senso deve essere $ \displaystyle~K\ge0 $. Se $ \displaystyle~K=0 $ vale la tesi.
Se $ \displaystyle~K>0 $ possiamo dividere tutto per $ \displaystyle~K $ e considerare la funzione $ \displaystyle~g(x)=\frac{f(x)}{K} $: $ \displaystyle~f(x) $ è costante sse lo è $ \displaystyle~g(x) $.
Supponiamo che $ \displaystyle~g(x) $ non sia costante e che quindi ci siano due reali $ \displaystyle~a,b $ tali che sia $ \displaystyle~g(a)\neq g(b) $ (supponiamo WLOG $ \displaystyle~g(b)>g(a) $).
Deve valere $ \displaystyle~g(b)-g(a)\le(b-a)^2 $, cioè, dividendo per $ \displaystyle~|b-a| $, $ \displaystyle~\frac{g(b)-g(a)}{|b-a|}\le |b-a| $. Poniamo $ \displaystyle~J=\frac{g(b)-g(a)}{|b-a|} $.
Consideriamo ora un intero $ \displaystyle~n>\frac{|b-a|}{J} $ e definiamo $ \displaystyle~n $ reali $ \displaystyle~\{x_i\}_0^n $ in modo che sia $ \displaystyle~x_i=a+\frac{b-a}{n}\cdot i $ (quindi $ \displaystyle~x_0=a $ e $ \displaystyle~x_n=b $ e gli $ \displaystyle~x_i $ sono tutti equidistanti).
Deve esserci un $ \displaystyle~j<n $ tale che valga $ \displaystyle~\left|\frac{g(x_{j+1})-g(x_j)}{x_{j+1}-x_j}\right|\ge J $, altrimenti avremmo che $ \displaystyle~g(b)-g(a)\le\frac{|b-a|}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\left|\frac{g(x_{i+1})-g(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\right| $$ \displaystyle~<n\cdot\frac{|b-a|}{n}\cdot J=g(b)-g(a) $ (la prima è la disuguaglianza triangolare estesa a $ \displaystyle~n $ valori assoluti).
Ma allora $ \displaystyle~\left|\frac{g(x_{j+1})-g(x_j)}{x_{j+1}-x_j}\right|\ge J $: essendo $ \displaystyle~|x_{j+1}-x_j|=\frac{|b-a|}{n} $ abbiamo $ \displaystyle~|g(x_{j+1})-g(x_j)|\ge J\cdot\frac{|b-a|}{n} $.
La condizione $ \displaystyle~n>\frac{|b-a|}{J} $ si traduce in $ \displaystyle~J>\frac{|b-a|}{n} $, quindi $ \displaystyle~|g(x_{j+1})-g(x_j)|>\left(\frac{b-a}{n}\right)^2 $, contro l'ipotesi: assurdo. Quindi $ \displaystyle~g(x) $ è costante, come pure $ \displaystyle~f(x) $.

Usando i cannoni (però con l'ipotesi aggiuntiva che $ \displaystyle~f(x) $ sia derivabile) veniva subito: $ \displaystyle~\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le K(x-y) $ implica $ \displaystyle~\lim_{y\to x}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le\lim_{y\to x}K(x-y)=0 $, cioè $ \displaystyle~|f'(x)|\le0 $, da cui $ \displaystyle~f'(x)=0,~\forall x $, cioè $ \displaystyle~f(x) $ costante.

P.S.: Cosa significa la notazione $ \displaystyle~f(\cdot) $?

[Tibor Gallai]

In poche parole:
wlog $ ~f(0)=0 $. Fissato $ ~t $, si ha che wlog $ ~f(t)\geq 0 $, e le due parabole $ ~y=kx^2 $ e $ ~y=f(t)-k(x-t)^2 $ non devono avere 2 intersezioni. Questo succede sse $ ~f(t)\leq \frac k 2 t^2 $, e quindi $ ~k $ può essere scelto piccolo a piacere.

[SkZ]

L'ipotesi non e' altro che sia lipschitziana di secondo ordine, che implica che sia continua.

kn, penso che si puo' usare il rapporto incrementale senza usare la derivibilita'.

$ ~f(\cdot) $ e' una notazione per indicare la funzione f

[stefanos]

@kn: bravo! Sì, con $ $f(\cdot)$ $ indico la funzione, senza dare un nome alla variabile.

@TG: non capisco la tua soluzione ;P

@SkZ: ho dato un'occhiata a cosa fosse una funzione lipschitziana.. Ho visto che per n>1, una funzione hölder-continua con esponente n (come la chiamano loro) definita su [0, 1] è costante.

[Tibor Gallai]

@TG: non capisco la tua soluzione ;P

Ordinaria amministrazione, sono un genio incompreso.
A parte tutto, era un po' stringata.
Notiamo che la proprietà del testo, che chiamiamo P(k), è invariante per traslazione degli assi cartesiani. Questo è il motivo per cui considero solo 0 e f(0). Comunque, presa una coppia di punti qualsiasi della funzione, vediamo che il resto del grafico deve essere compreso tra 2 parabole con i vertici nei 2 punti. Perché questo sia possibile, le 2 parabole non devono intersecarsi in 2 punti, altrimenti fra di essi la f non potrebbe assumere nessun valore. Facendo i conti (i.e. calcolando il discriminante di un'eq. di 2° grado...) si vede che questo capita solo se vale P(k/2) (tra la coppia di punti considerati). Per l'arbitrarietà dei 2 punti scelti all'inizio, si conclude che P(k/2) deve valere sempre. Quindi P(k) implica P(k/2) implica P(k/4), etc. Ora, se la f non fosse costante, abbassando abbastanza quel k si troverebbe banalmente un assurdo.
Poi magari è la stessa cosa che ha detto kn, ma non l'ho letta...

EDIT: mancava un k nell'altro post, ma non penso che l'incomprensibilità dipendesse da quello.

[stefanos]

Grazie! Ora mi e` tutto chiaro! Chiaramente l'incomprensibilita` dipendeva da me.