Triangoli acutangoli e ottusangoli
Triangoli acutangoli e ottusangoli
Se sentiamo parlare di un triangolo, ne immaginiamo quasi sempre uno acutangolo, ma se prendiamo tre punti A, B, C a caso su una circonferenza, indipendentemente l'uno dagli altri, sapendo che archi di circonferenza uguali hanno la stessa probabilità di contenere uno di questi punti, qual'è la probabilità di ottenere un triangolo acutangolo?
Sono il cuoco della nazionale!
Sia $ \beta=\widehat{AOB} $ e $ \gamma=\widehat{AOC} $.
Affinchè $ ABC $ sia acutangolo è necessario e sufficiente che $ (\beta<\gamma \land \beta<\pi \land \gamma-\beta<\pi \land 2\pi-\gamma<\pi)\lor(\gamma<\beta \land \gamma<\pi \land \gamma-\beta<\pi \land 2\pi-\beta<\pi) $ con $ \beta,\gamma\in[0,2\pi] $
Disegnando questa regione nel quadrato $ (2\pi)\times(2\pi) $ si vede che l'area delimitata è $ \displaystyle\frac14 $.
Affinchè $ ABC $ sia acutangolo è necessario e sufficiente che $ (\beta<\gamma \land \beta<\pi \land \gamma-\beta<\pi \land 2\pi-\gamma<\pi)\lor(\gamma<\beta \land \gamma<\pi \land \gamma-\beta<\pi \land 2\pi-\beta<\pi) $ con $ \beta,\gamma\in[0,2\pi] $
Disegnando questa regione nel quadrato $ (2\pi)\times(2\pi) $ si vede che l'area delimitata è $ \displaystyle\frac14 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Supponiamo di avere scelto il punto A sulla circonferenza di raggio r.
La misura dell'arco AB segue una distribuzione uniforme su $ (0,2\pi r) $.
Se la misura dell'arco AB è x, $ x \in (0,2\pi r) $, il triangolo ABC è acutangolo sse C cade nell'arco A'B', dove A',B' sono i simmetrici di A e B rispetto al centro della circonferenza. Allora questo evento si verifica con probabilità $ \displaystyle\frac{x}{2\pi r} $ se $ x \in (0, \pi r) $, $ \displaystyle\frac{2\pi r -x}{2\pi r} $ altrimenti.
La probabilità richiesta è $ \displaystyle\int_0^{\pi r}\frac{x}{2\pi r}\frac{1}{2\pi r}dx+\int_{\pi r}^{2\pi r}\frac{2\pi r-x}{2\pi r}\frac{1}{2\pi r}dx=\frac{1}{4} $.
Nell'ultimo passaggio ho utilizzato la formula della probabilità condizionata nel continuo.
La misura dell'arco AB segue una distribuzione uniforme su $ (0,2\pi r) $.
Se la misura dell'arco AB è x, $ x \in (0,2\pi r) $, il triangolo ABC è acutangolo sse C cade nell'arco A'B', dove A',B' sono i simmetrici di A e B rispetto al centro della circonferenza. Allora questo evento si verifica con probabilità $ \displaystyle\frac{x}{2\pi r} $ se $ x \in (0, \pi r) $, $ \displaystyle\frac{2\pi r -x}{2\pi r} $ altrimenti.
La probabilità richiesta è $ \displaystyle\int_0^{\pi r}\frac{x}{2\pi r}\frac{1}{2\pi r}dx+\int_{\pi r}^{2\pi r}\frac{2\pi r-x}{2\pi r}\frac{1}{2\pi r}dx=\frac{1}{4} $.
Nell'ultimo passaggio ho utilizzato la formula della probabilità condizionata nel continuo.
Ma infatti ho specificato che archi di circonferenza congruenti hanno la stessa probabilità di contenere il punto A (o B o C), non dovrebbe bastare?EvaristeG ha scritto:Questo problema è, purtroppo, maldefinito. A seconda di come consideri il concetto di "scegliere a caso", cioè di quale distribuzione di probabilità prendi, puoi far venire quasi ogni numero tra 0 e 1, come probabilità.
Volendo si può dividere la circonferenza in n archi congruenti, approssimare un punto su un archetto al punto medio dell'archetto (e finora starei parlando da fisico) e poi far tendere n all'infinito, e viene il doppio integrale di uchiak. Feddystra ha fatto lo stesso ragionamento forse in maniera più intuitiva (senza analisi).
Sono il cuoco della nazionale!
Uh, ammetto di non aver visto la condizione sugli archi uguali.
Resta il fatto che la soluzione di FeddyStra non ha senso (strettamente), a meno che voi non sappiate un po' di teoria dell'integrazione. L'altra è di buona misura non olimpica.
uchiak, in letteratura si intende ogni cosa e il contrario di ogni cosa ... e non serve scomodare Bertrand; basta prendere un problema in cui lo spazio degli eventi non è banalmente parametrizzato su R ed ecco che la distribuzione uniforme non esiste più.
Questi problemi di probabilità "continua" stanno meglio in mne. Ora non ha gran senso spostarlo, ma ricordatevene per il futuro.
Resta il fatto che la soluzione di FeddyStra non ha senso (strettamente), a meno che voi non sappiate un po' di teoria dell'integrazione. L'altra è di buona misura non olimpica.
uchiak, in letteratura si intende ogni cosa e il contrario di ogni cosa ... e non serve scomodare Bertrand; basta prendere un problema in cui lo spazio degli eventi non è banalmente parametrizzato su R ed ecco che la distribuzione uniforme non esiste più.
Questi problemi di probabilità "continua" stanno meglio in mne. Ora non ha gran senso spostarlo, ma ricordatevene per il futuro.
Il "disegnare l'area" era un modo come un altro per occultare un integrale. Se vuoi lo formulo così:EvaristeG ha scritto:Resta il fatto che la soluzione di FeddyStra non ha senso (strettamente), a meno che voi non sappiate un po' di teoria dell'integrazione.
Sia $ \psi(\alpha,\beta,\gamma)=\left\{\begin{array}{ll}1&\mbox{se è acuto}\\0&\mbox{se è ottuso}\end{array}\right. $.
Allora la probabilità è $ \displaystyle p=\left(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S \psi(\alpha,\beta,\gamma)dv\right)/\left(\int\!\!\!\int\!\!\!\int_S dv\right) $ dove $ S=[0,2\pi]^3 $.
Dopo di che, quello che ho scritto è un modo 'semplice' per calcolare questa schifezza.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Libero di pensarla come vuoi, io non sono d'accordo. In problemi di questo tipo con "a caso" si intende "uniformemente a caso". E' chiaro che se si considerano degli oggetti geometrici più complicati, la scelta della funzione di densità più appropriata è raramente ovvia.EvaristeG ha scritto:
uchiak, in letteratura si intende ogni cosa e il contrario di ogni cosa ...