Dimostrare che, fra i poligoni (convessi) di n lati inscritti in un cerchio dato, quelli che hanno perimetro massimo coincidono con quelli regolari e che la stessa cosa vale per quelli di area massima.
(penso stia meglio qui che in geometria..)
max area e perimetro
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exodd
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max area e perimetro
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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due lemmi:
Lemma 1:Data ina corda AB di un cerchio e un arco AB del cerchio e un punto P su di esso allora AP+PB è massima quando P coincide con il punto medio M dell'arco AB contenente P.
Dimostrazione: Consideriamo l'allisse di fuochi A e B e passante per M, chiaramente esso è tangente all'arco AB in M. Ora consideriamo un punto P generico tra M e B e prolunghiamo AP, essa interseca l'ellisse in P', chiaramente abbiamo P'A>PA e P'B>PB quindi PA+PB<P'A+P'B=AM+BM quindi il massimo si ha con P in M.
Lemma 2:Data ina corda AB di un cerchio e un arco AB del cerchio e un punto P su di esso allora l'area di ABP è massima quando P coincide con il punto medio M dell'arco AB contenente P.
Dimostrazione: L'area è base per altezza, ma la base è fissa quindi è masssima quando l'altezza è massima, ovvero quando P coincide con M.
Ora supponiamo per assurdo che il poligono di perimetro massimo non sia regolare, allora potremmo prendere un sui vertice $ P_i $ in cui concorrono due lati $ P_{i-1}P_i $ e $ P_iP_{i+1} $ diversi e spostare $ P_i $ nel punto medio dell'arco $ P_{i-1}P_{i+1} $ otenendo così un poligono di perimetro maggiore per il lemma 1, assurdo. Quindi il poligono di area massima è regolare perchè è l'unico a cui non si può applicare questa trasformazione avendo già i lati uguali.
Stesso ragionamento per l'area usando il lemma 2.
Lemma 1:Data ina corda AB di un cerchio e un arco AB del cerchio e un punto P su di esso allora AP+PB è massima quando P coincide con il punto medio M dell'arco AB contenente P.
Dimostrazione: Consideriamo l'allisse di fuochi A e B e passante per M, chiaramente esso è tangente all'arco AB in M. Ora consideriamo un punto P generico tra M e B e prolunghiamo AP, essa interseca l'ellisse in P', chiaramente abbiamo P'A>PA e P'B>PB quindi PA+PB<P'A+P'B=AM+BM quindi il massimo si ha con P in M.
Lemma 2:Data ina corda AB di un cerchio e un arco AB del cerchio e un punto P su di esso allora l'area di ABP è massima quando P coincide con il punto medio M dell'arco AB contenente P.
Dimostrazione: L'area è base per altezza, ma la base è fissa quindi è masssima quando l'altezza è massima, ovvero quando P coincide con M.
Ora supponiamo per assurdo che il poligono di perimetro massimo non sia regolare, allora potremmo prendere un sui vertice $ P_i $ in cui concorrono due lati $ P_{i-1}P_i $ e $ P_iP_{i+1} $ diversi e spostare $ P_i $ nel punto medio dell'arco $ P_{i-1}P_{i+1} $ otenendo così un poligono di perimetro maggiore per il lemma 1, assurdo. Quindi il poligono di area massima è regolare perchè è l'unico a cui non si può applicare questa trasformazione avendo già i lati uguali.
Stesso ragionamento per l'area usando il lemma 2.