i) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=a $
ii) $ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=b $
iii) $ z_1^3+z_2^3+\ldots+z_n^3=c $
Trovare il massimo di $ \sqrt{x_1y_1z_1}+\sqrt{x_2y_2z_2}+\ldots + \sqrt{x_ny_nz_n} $
Ps. Molto facile..
Alla ricerca di un massimo..
Alla ricerca di un massimo..
Own. Siano dati $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n,z_1,z_2,\ldots,z_n, $ reali positivi tali che:
i) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=a $
ii) $ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=b $
iii) $ z_1^3+z_2^3+\ldots+z_n^3=c $
Trovare il massimo di $ \sqrt{x_1y_1z_1}+\sqrt{x_2y_2z_2}+\ldots + \sqrt{x_ny_nz_n} $
Ps. Molto facile..
i) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=a $
ii) $ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=b $
iii) $ z_1^3+z_2^3+\ldots+z_n^3=c $
Trovare il massimo di $ \sqrt{x_1y_1z_1}+\sqrt{x_2y_2z_2}+\ldots + \sqrt{x_ny_nz_n} $
Ps. Molto facile..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
Enrico Leon
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- Località: Gorizia
Se la mia soluzione è giusta Jordan sta perdendo colpi, perché l'ultima volta ho dovuto penare come un matto per risolvere un problema a suo dire molto facile 
.
Allora:
$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM. Continuando ad usare la disuguaglianza tra le medie, si ha:
$ \frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2}\leq \frac{a}{2}+\frac{{y_1}^2+{z_1}^2+...+{y_n}^2+{z_n}^2}{4}=\frac{a}{2} +\frac{b}{4} + \frac{{z_1}^2+...+{z_n}^2}{4} $ e da qui si può comodamente concludere con la disuguaglianza tra le medie 2 e 3 su z.
Può andare?
Grazie per il post comunque
.Allora:
$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM. Continuando ad usare la disuguaglianza tra le medie, si ha:
$ \frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2}\leq \frac{a}{2}+\frac{{y_1}^2+{z_1}^2+...+{y_n}^2+{z_n}^2}{4}=\frac{a}{2} +\frac{b}{4} + \frac{{z_1}^2+...+{z_n}^2}{4} $ e da qui si può comodamente concludere con la disuguaglianza tra le medie 2 e 3 su z.
Può andare?
Grazie per il post comunque
Se proprio insisti, questo è forse il più difficile che sono riuscito a risolvere..Enrico Leon ha scritto:Molto facile dici......Per curiosità, potresti postare un problema che per te è difficilissimo.....?
Ultima modifica di jordan il 23 giu 2009, 18:08, modificato 2 volte in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Non mi convince del tutto. Per esempio applichi GM-AM
e poi in seguito altre medie. Il problema è che alla fine ti trovi con una disuguaglianza certamente vera, ma non hai verificato che le condizioni di uguaglianza possano essere effettivamente soddisfatte (per quella roportata per esempio sono $ x_i=y_iz_i\ \ \forall i $), ergo il massimo potrebbe essere più piccolo di quello che hai trovato.Natalino ha scritto:$ \displaystyile \sqrt{{x_1}{y_1}{z_1}}+...+\sqrt{{x_n}{y_n}{z_n}}\leq \frac{{x_1}+{y_1}{z_1}}{2}+...+\frac{{x_n}+{y_n}{z_n}}{2}=\frac{a}{2}+\frac{{y_1}{z_1}+...+{y_n}{z_n}}{2} $ per AM-GM.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
@Natalino, essì sto perdendo colpi , la critica di Feddystra è corretta, e per di piu ho trovato un errore nella mia.. 
difatti io consideravo la disuguaglianza (*) $ 6x_i+3y_i^2+2z_i^3 \ge (x_iy_iz_i)^{\frac{6}{11}} $, poi le sommavo ciclicamente e concludevo con la disuguaglianza tra medie generalizzate con gli indici $ \frac{6}{11} $ e $ \frac{1}{2} $. Ma così nella (*) si presuppone uguaglianza sse $ x_i=y_i^2=z_i^3 $ e questo implicherebbe che il sistema originale si trasforma a termini noti costanti $ a=b=c $, che è solo un caso molto particolare del quesito originale.. Anche la dimostrazione di Natalino risolve infine solo un caso particolare infatti si dovrebbero avere $ z_i=y_i $ tutti uguali e costanti e $ x_i=y_i^2 $..
Bè il danno oramai l'ho fatto, cercherò di rimediare se possibile (sarà la maledizione del "molto facile" originale?
)
, la critica di Feddystra è corretta, e per di piu ho trovato un errore nella mia.. difatti io consideravo la disuguaglianza (*) $ 6x_i+3y_i^2+2z_i^3 \ge (x_iy_iz_i)^{\frac{6}{11}} $, poi le sommavo ciclicamente e concludevo con la disuguaglianza tra medie generalizzate con gli indici $ \frac{6}{11} $ e $ \frac{1}{2} $. Ma così nella (*) si presuppone uguaglianza sse $ x_i=y_i^2=z_i^3 $ e questo implicherebbe che il sistema originale si trasforma a termini noti costanti $ a=b=c $, che è solo un caso molto particolare del quesito originale.. Anche la dimostrazione di Natalino risolve infine solo un caso particolare infatti si dovrebbero avere $ z_i=y_i $ tutti uguali e costanti e $ x_i=y_i^2 $..Bè il danno oramai l'ho fatto, cercherò di rimediare se possibile (sarà la maledizione del "molto facile" originale?
)The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ok, credo di aver trovato..(l'intento è infatti di provare che gli $ x_i $ sono costanti così come gli $ y_i $ e gli $ z_i $)
$ \displaystyle \sum{\sqrt{xyz}}=\sum{\sqrt{x}\sqrt{yz}} \le \sqrt{a\sum{yz}} $ $ \le \displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b\sum{z^2}} $ $ \le \sqrt[4]{a^2b} \cdot \sqrt[4]{c^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}} $ $ =(a^6b^3c^2n)^{\frac{1}{12} $
dove sono state utilizzate in ordine due cauchy-schwarz e una disuguaglianza tra medie generalizzate..
Ps. Adesso è giusta, ma la prossima volta sarò più attento
$ \displaystyle \sum{\sqrt{xyz}}=\sum{\sqrt{x}\sqrt{yz}} \le \sqrt{a\sum{yz}} $ $ \le \displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b\sum{z^2}} $ $ \le \sqrt[4]{a^2b} \cdot \sqrt[4]{c^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}} $ $ =(a^6b^3c^2n)^{\frac{1}{12} $
dove sono state utilizzate in ordine due cauchy-schwarz e una disuguaglianza tra medie generalizzate..
Ps. Adesso è giusta, ma la prossima volta sarò più attento
The only goal of science is the honor of the human spirit.