somme di potenze delle radici

[exodd]

sulle schede olimpiche ho trovato questo:
siano $ b_1,b_2,b_3,...b_n $ le radici complesse di un polinomio monico di grado $ \displaystyle{n} $, con coefficienti $ a_{n-1},a_{n-2},...,a_1,a_0 $
sia $ s_k=b_1^k+b_2^k+...+b_n^k $
allora, se $ 0<k<n+1 $ si ha che
$ s_k+a_{n-1}s_{k-1}+...+a_{n-k+1}s_1+a_{n-k}k=0 $

come si dimostra??

[exodd]

[Federiko]

EDIT:Ho sbagliato dei conti con i coefficienti nelle somme simmetriche.. quando torno stasera li ricontrollo...

devi dimostrare che e' nulla la quantità
$ \displaystyle\sum b^k-(\sum b)(\sum b^{k-1})+(\sum_{i\neq j}b_ib_j)(\sum b^{k-2})+...+(-1)^k k(\sum b_i b_j ... b_w) $
nell'ultima somma ci sono tutti i possibili prodotti di k radici. Se fai i prodotti hai
$ \displaystyle\sum b^k-(\sum b^k+\sum_{i\neq j}b_ib_j^k)+(\sum_{i\neq j}b_ib_j^k+2\sum_{i\neq j\neq m}b_ib_jb_m^k)+...+(-1)^k k(\sum_{i\neq j\neq...\neq z}b_ib_j...b_z) $
Se prendi dall'inizio due termini consecutivi essi si anullano sempre.

[exodd]

devi dimostrare che e' nulla la quantità
$ \displaystyle\sum b^k-(\sum b)(\sum b^{k-1})+(\sum_{i\neq j}b_ib_j)(\sum b^{k-2})+...+(-1)^k k(\sum b_i b_j ... b_w) $

vedi che l'ultimo coefficiente non è $ a_0 $

[exodd]