Quesito Maturità livello Archimede

[Davide90]

Posto per i giovincelli un quesito della maturità di quest'anno che potrebbe essere a livello Archimede/provinciali:

“Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

Oltre alla dimostrazione più evidente che sicuramente vi verrà in mente, dimostratelo anche con la formula di Eulero (che non so perchè ho scritto che era di Euclide... XD).

[pak-man]

1) Ogni vertice del poliedro è il vertice di tre facce che giacciono sui piani concorrenti in quel punto. Poiché gli angoli interni di un esagono sono di 120° e le facce sono tre, la somma dei tre angoli è 360° dunque le tre facce sono complanari e non possono formare il vertice di un poliedro.
[qualcuno mi aiuti in questa assenza di formalismo!]

2) la relazione di Eulero è $ F+V=S+2 $.
Ogni spigolo è ottenuto dall'intersezione di due facce adiacenti, dunque $ S=6F/2=3F $, mentre ogni vertice è ottenuto dall'intersezione di tre facce adiacenti, dunque $ V=6F/3=2F $.
Ma allora si dovrebbe avere $ F+2F=3F+2 $ che è assurdo.

[Davide90]

In entrambe dovresti tenere conto che non è detto che le facce concorrenti nel vertice siano 3...
Correggendo questo cosa, anche nella seconda, riesci a metterle a posto.

[pak-man]

In entrambe dovresti tenere conto che non è detto che le facce concorrenti nel vertice siano 3...
Correggendo questo cosa, anche nella seconda, riesci a metterle a posto.

Giusto.

Intanto correggo il primo punto.
Ogni vertice è individuato da *almeno* tre facce, poi il conto degli angoli è sempre >=360°

Vediamo il secondo punto, dovrebbe essere giusta questa.
Il discorso è analogo al precedente tranne per il fatto che ogni vertice è individuato da *almeno* tre facce, dunque $ V=6F/n $, con $ n\ge3 $ intero.
Dunque $ F+\dfrac{6F}{n}=3F+2 $, $ 3F/n=F+1 $, $ F=\dfrac{n}{3-n} $, assurdo per l'assunzione su $ ~n $.

[Davide90]

Si, ora va bene.
Molto agile come quesito mi sembra... Volendo bastava anche dire che i poliedri regolari sono 5 e non comprendono poliedri con facce esagonali! XD

[pak-man]

Si, ora va bene.
Molto agile come quesito mi sembra... Volendo bastava anche dire che i poliedri regolari sono 5 e non comprendono poliedri con facce esagonali! XD

Lol è vero!

[Alex90]

Si, ora va bene.
Molto agile come quesito mi sembra... Volendo bastava anche dire che i poliedri regolari sono 5 e non comprendono poliedri con facce esagonali! XD

beh però dovevi domostrarlo

[Davide90]

Mah, secondo me i punti del quesito li prendevi lo stesso!
Però si, in ambito olimpico va dimostrato con il primo metodo scritto da pak-man.