Passo finale di una marea di contazzi con le matrici....
Siano dati n naturale e $ \lambda_i $ complessi. Probar que
$
\max |\lambda_j-\frac 1n \sum \lambda_i| \leq \left(\frac{n-1}n
\left(
(\sum|\lambda_i|^2) - \frac 1n |\sum \lambda_i|^2
\right)
\right)^{\frac 12}
$
dove tutte le sommatorie vanno da 1 a n.
Disuguaglianza del Bhatia
Disuguaglianza del Bhatia
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Si può notare che sia il LHS che il RHS sono invarianti per traslazione.
LHS è ovvio, per il RHS viene usando il fatto che $ |v|^2 = v \cdot v $.
Quindi possiamo supporre $ \sum \lambda_i = 0 $.
In tal caso la disuguaglianza da dimostrare diventa, dopo pochi passaggi:
$ |\lambda_n|^2 \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1} |\lambda_i|^2 $ (supponendo wlog che il più grande è $ \lambda_n $).
Partendo da:
$ \lambda_n = - \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i $
$ |\lambda_n| = |\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i| \le \sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| $
$ |\lambda_n|^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| \right) \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i|^2 $, dove l'ultimo passaggio è vero per cauchyscwartz.
LHS è ovvio, per il RHS viene usando il fatto che $ |v|^2 = v \cdot v $.
Quindi possiamo supporre $ \sum \lambda_i = 0 $.
In tal caso la disuguaglianza da dimostrare diventa, dopo pochi passaggi:
$ |\lambda_n|^2 \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1} |\lambda_i|^2 $ (supponendo wlog che il più grande è $ \lambda_n $).
Partendo da:
$ \lambda_n = - \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i $
$ |\lambda_n| = |\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i| \le \sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| $
$ |\lambda_n|^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i| \right) \le (n-1)\sum_{i=1}^{n-1}|\lambda_i|^2 $, dove l'ultimo passaggio è vero per cauchyscwartz.