Sia $ \displaystyle f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}\right)\cdot e^{-x} $ .
Nel punto 2 chiede di dimostrare che se n è dispari, $ f(x)\leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} $.
Io ho scritto prima la soluzione canonica corretta con la derivata prima, massimo relativo in x=0, f(x) continua su R dunque f(0) è anche massimo assoluto, e f(0)=1; dunque la tesi.
Poi, ricordando vagamente che l'espressione in parentesi è lo sviluppo in serie di Taylor di $ e^x $ arrestato al termine di grado n, ho detto anche che in effetti la prima parentesi era $ \leq e^x $ se n era dispari, in quanto il primo termine che trascuravo era elevato ad n+1 (pari) e dunque era positivo, ed era il contributo maggiore che trascuravamo. Dunque $ f(x)\leq e^x\cdot e^{-x} =1 $ .
Però direi di avere detto una fesseria dal punto di vista algebrico nella parte in corsivo: infatti quello che ho detto è valido per $ x\geq-n $ , poichè se x è negativo e abbastanza grande, i termini con segno negativo pesano più di quelli positivi.
Quello che ho detto è giusto?
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