Per iniziare la giornata

[WiZaRd]

Sia $ K $ l'insieme di tutti i numeri reali $ x $ t.c. $ 0\leqslant x\leqslant 1 $. Sia $ f $ una funzione da $ K $ all'insieme di tutti i numeri reali $ \mathbb{R} $ avente le seguenti proprietà:

• $ f(1)=1 $;
  $ f(x)\geqslant0 $ per ogni $ x \in K $
  se $ x,y \text{ e } x+y \in K $, allora $ f(x+y)\geqslant f(x)+f(y) $

Provare che $ f(x)\leqslant 2x $ per ogni $ x \in K $.

[jordan]

• $ f(1)=1 $;
  $ f(0)\geqslant0 $ per ogni $ x \in K $
  se $ x,y \text{ e } x+y \in K $, allora $ f(x+y)\geqslant f(x)+f(y) $

Non è corretta la tua seconda condizione..presumo sia 0≤f(x) per ogni x in K.
Ad ogni modo (x,y)=(0,1) implica 0≤f(0)≤f(0+1)-f(1) cioè f(0)=0.
Per induzione è vero che per ogni intero non negativo n vale $ f(2^{-n}) \le 2^{-n} $.
Per ogni $ x \in k \setminus \{0\} $ esiste un unico $ n \in \mathbb{N} $ t.c. $ 2^{-n-1} \le x < 2^{-n} $.
Allora $ f(x) \le f(x)+f(2^{-n}-x) \le f(2^{-n}) \le 2^{-n} \le 2x $.

[WiZaRd]

Non saprei... quella è la condizione che c'è scritta sul pdf delle irish MO del '96:

http://maths.ucd.ie/~cmwilmott/IMO2005_ ... o_1996.pdf

[jordan]

Mi riferivo al fatto che hai scritto f(0) al posto di f(x)..

[WiZaRd]

E beh, si vede che c'ho passato tutta la notte vicino
Sono fuso
Correggo.

[WiZaRd]

Per induzione è vero che per ogni intero non negativo n vale $ f(2^{-n}) \le 2^{-n} $.

Di questa cosa me ne sono accorto prendendo dei valori di riferimento (1/2,1/4,1/8 ) ma non sono riuscito a provarlo e lo preso per buono per risolvere il problema. Ora mi dici che è per induzione: come di preciso, dato che non mi riesce...

[WiZaRd]

Aspé... è venuto: commettevo un errore di segno...

Mi spieghi come hai fatto a risolverlo in 23 minuti? Sei un fenomeno! C'ho sbattuto la testa sopra tutta la notte e mi ci sono volute 4 ore prima di capire come fare. Sul serio, per quanto possa contare detto da me, sei un fenomeno!

[jordan]

Mi spieghi come hai fatto a risolverlo in 23 minuti?

23 minuti? contando anche che i primi 15 non l'avevo visto?
ps. se mi avessi detto subito la fonte ci avrei messo anche meno visto che ho le soluzioni

[WiZaRd]

Quindi lo hai risolto in 8 minuti!

[WiZaRd]

ps. se mi avessi detto subito la fonte ci avrei messo anche meno visto che ho le soluzioni

Interessante... posso chiedere dove le posso trovare?

[jordan]

Ad esempio guarda qui, c'è anche la bonus question