Mostrare che per ogni $ x $ intero fissato esistono infinite n-uple di interi $ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ tali che $ \displaystyle x=\sum_{i=1}^n{a_i^3} $
Ogni intero è somma di n cubi, infinite volte.
Ogni intero è somma di n cubi, infinite volte.
Sia $ n>4 $ un intero fissato.
Mostrare che per ogni $ x $ intero fissato esistono infinite n-uple di interi $ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ tali che $ \displaystyle x=\sum_{i=1}^n{a_i^3} $
Mostrare che per ogni $ x $ intero fissato esistono infinite n-uple di interi $ (a_1,a_2,\ldots,a_n) $ tali che $ \displaystyle x=\sum_{i=1}^n{a_i^3} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Pongo: $ $a_1=m+1,~a_2=m-1,~a_3=-m,~a_4=-m,~a_5=k$ $
$ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3$ $ con $ $m,~k$ $ interi.
Ogni intero $ $x$ $ può essere scritto come $ $x=6x'+z$ $ con $ $x',~z$ $ interi e $ $0 \le z<6$ $, insomma $ $x \equiv z \pmod 6$ $.
Ci sono infiniti $ $k$ $ tali che $ $k^3 \equiv z \pmod 6$ $, basta che $ $k \equiv z \pmod 6$ $.
Riscrivo: $ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3=x \Longrightarrow 6m=x-k^3$ $. Per ogni $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ il RHS è sempre un multiplo di 6 e quindi esiste un $ $m$ $ che mi rende vera l'uguaglianza. I $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ sono infiniti e quindi anche le quintuple di $ $a_i$ $ sono infinite.
Per $ $n>5$ $ pongo semplicemente gli $ $a_i$ $ con $ $i>5$ $ uguali a $ $0$ $.
$ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3$ $ con $ $m,~k$ $ interi.
Ogni intero $ $x$ $ può essere scritto come $ $x=6x'+z$ $ con $ $x',~z$ $ interi e $ $0 \le z<6$ $, insomma $ $x \equiv z \pmod 6$ $.
Ci sono infiniti $ $k$ $ tali che $ $k^3 \equiv z \pmod 6$ $, basta che $ $k \equiv z \pmod 6$ $.
Riscrivo: $ $(m+1)^3+(m-1)^3+(-m)^3+(-m)^3+k^3=6m+k^3=x \Longrightarrow 6m=x-k^3$ $. Per ogni $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ il RHS è sempre un multiplo di 6 e quindi esiste un $ $m$ $ che mi rende vera l'uguaglianza. I $ $k$ $ della forma $ $k \equiv z \pmod 6$ $ sono infiniti e quindi anche le quintuple di $ $a_i$ $ sono infinite.
Per $ $n>5$ $ pongo semplicemente gli $ $a_i$ $ con $ $i>5$ $ uguali a $ $0$ $.
Appassionatamente BTA 197!
W Harold Davenport (pag. 147). 
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
