tre diofantine sistemate

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Risolvere in Z
 
 xy = kz+1
 xz = hy+1
 yz = lx+1

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, intanto direi che vanno bene le soluzioni nella forma:
 x=2^a
 y=2^a+1
 z=2^a(2^a+1)-1

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ale, non funziona. Infatti, per cme hai imposto tu, yz-1 == -2 (mod 2^a). Dunque la tua terna può essere soluzione solo per a=0 o a=1.
 
 Moltiplicando le tre relazioni del testo si ha (in mod xyz):
 0 == (xy-1)(xz-1)(yz-1) = x²y²z²-x²yz+-xy²z-xyz²+xy+xz+yz-1 ==
 == xy+xz+yz-1.
 Pertanto xyz|(xy+xz+yz-1).
 Ora, se sia x,y,z sono tutti in valore assoluto maggiori o uguali a 3, ciò è impossibile. Abbiamo praticamente finito. Restano da verificare un po\' di casi intermedi, sfoltibili grazie alla simmetria, ma comunque troppi per la mia mente obnubilata (sono a scuola).

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Indico con (1) il sistema di equazioni date.
 
 Per simmetria possiamo supporre x < y < z. Si ricava facilmente che k < x, e x =< h =< y.
 
 Poniamo h=x+a e utilizzando le (1) si ottengono le relazioni
 
 (2) y(2x+a)=z(k+x)
 
 e
 
 (3) y(x+z+a)=x(l+z).
 
 Dalla (2) si deduce che z=2x+a dalla (3) si ottiene che z+x+a=nx cioe\' 2a=(n-3)x.
 
 Dalla (2) si ha pure che y=k+x < 2x cioe\' x > a e quindi x=2. Percio\' essendo x < y < 2x, si ha che y=3. Utilizzando questi risultati e la seconda delle (1) si trova che a=1. Quindi z=5.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 04-03-2003 17:38 ]