Sui fattori primi piu grandi di n^2+1

[jordan]

1- Leningrad Mathematical Olympiad (Fedor Petrov,Russia). Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^4+1)>2n $

2- IMO2008.3 (Kestutis Cesnavicius, Lithuania) Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>2n+\sqrt{2n} $

3- (Nagel) Mostrare che per ogni $ m>0 $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>mn $


Note.
0) gpf(n) denota il più grande fattore primo di n
1) Si accettano solo dimostrazioni completamente elementari
2) Problema 4 opzionale. Mostrare che per ogni $ m>0 $ e per ogni polinomio non lineare $ P(n) $ esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(P(n))>mn $
3) Problema 5 opzionale (Hooley). Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ \text{gpf}(n^2+1)>n^{\frac{11}{10}} $
4) Per gli ultimi due problemi in nota non sono a conoscenza di una dimostrazione (elementare o meno..)
5) Ricordiamo che la proposizione "esistono infiniti $ n \in \mathbb{N} $ tali che $ n^2+1 \in \mathbb{P} $" è ancora un problema aperto di teoria dei numeri, per cui si prega di evitare risposte in quel verso..