Sia fissato $ n \in \mathbb{N}_0 $ e sia dato un polinomio $ P(x) \in \mathbb{R}[x] $ tale che $ \tex{deg}(P(x))=n $.
Sapendo che per ogni $ i \in \{1,2,\ldots,n+1\} $ vale $ \displaystyle P(i)=\frac{1}{i} $, trovare il valore di $ P(n+2) $.
P(i)=1/i per ogni i=1,2,...,n+1-->P(n+2)=?
P(i)=1/i per ogni i=1,2,...,n+1-->P(n+2)=?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Provo a dire la mia...
Consideriamo il polinomio $ $xp(x)-1$ $: esso è di grado n+1 e si annulla per tutti gli i compresi tra 1 e n+1. Per Ruffini sarà allora $ $xp(x)-1=k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))$ $, dove k è una certa costante reale diversa da 0. Ricavando p(x) otteniamo $ $p(x)=\frac{k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))+1}{x}$ $.
Sviluppando otteremo $ $p(x)=\frac{kx^{n+1}+ka_nx^n+\dots+ka_1x+ka_0+1}{x}=kx^n+ka_nx^{n-1}+\dots+ka_1+\frac{ka_0+1}{x}$ $ dove gli a_i sono i vari coefficienti, e in particolare $ $a_0=\pm(n+1)!$ $, a seconda che n sia dispari o pari.
Affinchè p(x) sia un polinomio di grado n, deve essere$ $\frac{ka_0+1}{x}=0 \Rightarrow k=-\frac{1}{a_0}=\pm\frac{1}{(n+1)!}$ $ a seconda che n sia pari o dispari.
Abbiamo quindi $ $p(x)=\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))}{\pm(n+1)!x}+\frac{1}{x}$ $.
Ora, $ $p(n+2)=\frac{(n+2-1)\cdot(n+2-2)\cdots(n+2-(n+1))}{\pm(n+1)!(n+2)}+\frac{1}{n+2}=\pm\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}$ $
Quindi se n è pari $ $p(n+2)=\frac{2}{n+2}$ $, mentre per n dispari $ $p(n+2)=0$ $
EDIT: corretto, grazie maioc92
Consideriamo il polinomio $ $xp(x)-1$ $: esso è di grado n+1 e si annulla per tutti gli i compresi tra 1 e n+1. Per Ruffini sarà allora $ $xp(x)-1=k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))$ $, dove k è una certa costante reale diversa da 0. Ricavando p(x) otteniamo $ $p(x)=\frac{k(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))+1}{x}$ $.
Sviluppando otteremo $ $p(x)=\frac{kx^{n+1}+ka_nx^n+\dots+ka_1x+ka_0+1}{x}=kx^n+ka_nx^{n-1}+\dots+ka_1+\frac{ka_0+1}{x}$ $ dove gli a_i sono i vari coefficienti, e in particolare $ $a_0=\pm(n+1)!$ $, a seconda che n sia dispari o pari.
Affinchè p(x) sia un polinomio di grado n, deve essere$ $\frac{ka_0+1}{x}=0 \Rightarrow k=-\frac{1}{a_0}=\pm\frac{1}{(n+1)!}$ $ a seconda che n sia pari o dispari.
Abbiamo quindi $ $p(x)=\frac{(x-1)\cdot(x-2)\cdots(x-(n+1))}{\pm(n+1)!x}+\frac{1}{x}$ $.
Ora, $ $p(n+2)=\frac{(n+2-1)\cdot(n+2-2)\cdots(n+2-(n+1))}{\pm(n+1)!(n+2)}+\frac{1}{n+2}=\pm\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}$ $
Quindi se n è pari $ $p(n+2)=\frac{2}{n+2}$ $, mentre per n dispari $ $p(n+2)=0$ $
EDIT: corretto, grazie maioc92
Ultima modifica di fede90 il 12 lug 2009, 22:23, modificato 1 volta in totale.
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
Questa era la parte che mancava a me ieri (solo che il tuo k è il mio a_n)!!!!Purtroppo mi è venuta in mente oggi pomeriggio e vedo che qualcuno mi ha anticipato....vabbè fa niente.fede90 ha scritto:Provo a dire la mia...
Sviluppando otteremo $ $p(x)=\frac{kx^{n+1}+ka_nx^n+\dots+ka_1x+ka_0+1}{x}=kx^n+ka_nx^{n-1}+\dots+ka_1+\frac{ka_0+1}{x}$ $ dove gli a_i sono i vari coefficienti, e in particolare $ $a_0=\pm(n+1)!$ $, a seconda che n sia dispari o pari.
Affinchè p(x) sia un polinomio di grado n, deve essere$ $\frac{ka_0+1}{x}=0 \Rightarrow k=-\frac{1}{a_0}=\pm\frac{1}{(n+1)!}$ $ a seconda che n sia pari o dispari.
Solo una cosa:il risultato finale non è $ \displaystyle\frac {(-1)^{n+2}+1} {n+2} $?
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
lo stesso vale per me devo direfede90 ha scritto:Si avevo fatto un errore alla fine, grazie maioc... Beh comunque non potevo resistere a postare la soluzione, credo sia il primo problema di jordan che sono riuscito a risolvere (e probabilmente uno dei pochi di cui ho capito l'enunciato)
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
XDXDTBPL ha scritto:Hint:
$ $ P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $
x|p(x) <==> p(0)=0
ho ingrandito il suggerimento che era in bianco, il non averlo notato mi è costato un due orette a trovare quel lemma sopra
Comunque, va bien, Ok a Maioc92 a fede 90!
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ok, mostriamo il lemma 
Per ipotesi $ deg(P(x))=n \in \mathbb{N}_0 $, allora definiamo ricorsivamente i polinomi $ P^i(x) $ di modo tale che:
$ P^1(x)=P(x+1)-P(x) $
$ P^{i+1}(x)=(P^i(x))^1 $ per ogni $ i \in \mathbb{N}_0 $.
Semplicemente per induzione otteniamo che:
$ \displaystyle P^i(x)=\sum_{i=0}^k{(-1)^{k-i}\binom{k}{i}P(x+i)} $.
In particolare $ P^n(x) $ è una costante e quindi $ P^m(x)=0 $ per ogni $ m \ge n+1 $.
Questo significa che $ \displaystyle P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $.(*)
Posto $ x=1 $ nella (*) otteniamo la tesi. []
Per ipotesi $ deg(P(x))=n \in \mathbb{N}_0 $, allora definiamo ricorsivamente i polinomi $ P^i(x) $ di modo tale che:
$ P^1(x)=P(x+1)-P(x) $
$ P^{i+1}(x)=(P^i(x))^1 $ per ogni $ i \in \mathbb{N}_0 $.
Semplicemente per induzione otteniamo che:
$ \displaystyle P^i(x)=\sum_{i=0}^k{(-1)^{k-i}\binom{k}{i}P(x+i)} $.
In particolare $ P^n(x) $ è una costante e quindi $ P^m(x)=0 $ per ogni $ m \ge n+1 $.
Questo significa che $ \displaystyle P(x+n+1)=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n+1}{i}P(x+i)} $.(*)
Posto $ x=1 $ nella (*) otteniamo la tesi. []
The only goal of science is the honor of the human spirit.