2*3*5*7*11*13=30030

[Enrico Leon]

Siano $ a $ e $ b $ due interi positivi tali che $ a+b=30030 $. Dimostrare che il prodotto $ a\cdot b $ non è divisibile per $ 30030 $.

[pak-man]

Poniamo (è giusta la notazione?) $ \left\{p_i\right\}_1^6=\left\{2, 3, 5, 7, 11, 13\left\} $

Abbiamo che $ a\equiv-b\pmod{p_i} $ $ \forall0<i<7 $

Affinché il prodotto sia divisibile per $ ~p_i $, è necessario che almeno uno dei due fattori sia divisibile per $ ~p_i $, ma per l'equivalenza detta prima allora anche l'altro è divisibile per $ ~p_i $.

Entrambi sono divisibili per $ ~p_i $ $ \forall0<i<7 $, dunque entrambi sono divisibili per 30030.

Assurdo visto che sono entrambi positivi e sotto questa condizione non possono verificare l'uguaglianza data.

[didudo]

giuso per sapere se funziona:$ a=30030-b $ 30030 divide $ ab=30030b-b^2 $cioè 30030 divide $ b^2 $e quindi ogni fattore primo di 30030 ha un esponente pari e maggiore di 0 nella fattorizzazione di b e quindi $ b>30030 $,assurdo.

[EvaristeG]

non è per caso un'ammissione sns? (se sì, il propositore del problema lo dica chiaramente, please)

[Agi_90]

SNS 2003-2004 n. 3 (in realtà è solo il primo punto)

[Enrico Leon]

Non lo so se è un SNS, ma di sicuro risale a prima del 1994.

[didudo]

si,credo che poi chiedesse di generalizzare e dire come devono essere $ x,y $interi tc $ x+y $divida $ xy $