Provo con una dimostrazione elementare
Lemma: dato un segmento AB, il percorso spezzato convesso $ {s_1} $ (da una stessa parte del piano rispetto ad AB) di estremi AB ha perimetro minore del percorso spezzato convesso $ {s_2} $ (dalla stessa parte rispetto ad AB) tale che $ {s_1} $ è interamente contenuto nell'area compresa tra $ {s_2} $ e AB.
Il lemma si può dimostrare per induzione sul numero di lati di $ {s_1} $ e applicando la disuguaglianza triangolare. Se $ {s_1} $ ha 2 lati, il lemma è evidente.
Supponiamo adesso che $ {s_1} $ abbia n+1 lati. Tracciamo allora dal vertice di $ {s_1} $ a distanza maggiore di AB la parallela r ad AB (chiamiamo questo vertice V): la retta r incontrerà la spezzata $ {s_2} $ in 2 punti P e Q; possiamo allora considerare le spezzate VB e VA su $ {s_1} $ che hanno al massimo n segmenti. Possiamo adesso applicare l'ipotesi induttiva e dimostrare il lemma.
Tornando al problema:
prendiamo una retta che passa per due vertici non adiacenti del perimetro più piccolo C e D. Questa incontrerà il perimetro del poligono più grosso in 2 punti E e F.
La retta tracciata divide entrambi i poligoni in 2 parti. Inoltre è facile verificare (disuguaglianza triangolare) che il perimetro del poligono più piccolo ha perimetro minore di quello che ha gli stessi vertici, ma E e F al posto di C e D (si noti che questo poligono è ancora contenuto nel poligono più grande perché questo è convesso).
A questo punto possiamo applicare il lemma sulle due parti in cui è stato diviso il poligono e abbiamo finito.
Ho dato un po' di cose per scontate, soprattutto nel lemma, per non appesantire troppo. Spero sia chiaro, comunque un disegno aiuta molto!
