Problema 5
Trovare il piu' piccolo numero a > 1 tale che risulti:
(a +sin x )/(a +sin y) =< e^(y−x) per ogni x =<y.
PS
Rilevo, se non mi sbaglio, comunque una stranezza nella formulazione.
SNSP 1990-91
Ma usare latex no? 
Trovare il piu' piccolo numero $ ~ a > 1 $ tale che risulti:
$ \displaystyle \frac{a +\sin x}{a +\sin y} \leq e^{y-x} $ per ogni $ ~x \leq y $.
Trovare il piu' piccolo numero $ ~ a > 1 $ tale che risulti:
$ \displaystyle \frac{a +\sin x}{a +\sin y} \leq e^{y-x} $ per ogni $ ~x \leq y $.
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Visto che $ a+\sin y>0 $, si può riscrivere come $ (a+\sin x)e^x\le(a+\sin y)e^y $ per $ x<y $; il che significa che $ f(x)=(a+\sin x)e^x $ deve essere una funzione crescente.
Allora $ \displaystyle f'(x)=\left[a+\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]e^x\ge0\ \ \forall x $, da cui $ a\ge\sqrt 2 $, quindi $ a=\sqrt2 $.
Allora $ \displaystyle f'(x)=\left[a+\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]e^x\ge0\ \ \forall x $, da cui $ a\ge\sqrt 2 $, quindi $ a=\sqrt2 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]