SNS 1991-1992/1 plus

[g(n)]

(i) Provare che, per ogni intero $ n\geq 2 $, si ha

$ \displaystyle\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}2 $

e che $ \frac{n+1}2 $ non è mai multiplo intero di $ \sqrt[n]{n!} $

(ii) Trovare la massima costante $ k $ tale che $ \forall n $ $ kn < \sqrt[n]{n!} $

PS L'ho messo in MNE perchè per la (ii) non ho usato metodi strettamente olimpici

[SkZ]

questo vuol dire che non possiamo usare la formula di Stirling?

[ma_go]

secondo me era un invito a usare proprio stirling per il secondo punto, mentre diceva "no, guardate che stirling non serve per il primo" (anzi, in realtà con stirling non si dimostra molto, nel primo punto.. cioè, sì, ma lavorandoci un po').

[fede90]

Ma usando la formula di Stirling viene in un attimo (o perlomeno se è sottoforma di disuguaglianza...)

Se vi riferite alla dimostrazione della formula, non la conosco...ho semplicemente trovato questa stima, che è più debole di Stirling. Se poi la stima è banale mi scuso, ma l'ho trovata interessante...al massimo lasciatela ai meno esperti

[SkZ]

diciamo che agli universitari piace andare di Stirling perche'
1) semplifica alcune cose
2) puoi finalmente usarla! (e abusarne )

generalmente la formula di Stirling si esprime come limite

[didudo]

$ \displaystyle\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{1*2*...*n} $ cioè questa è la media geometrica dei primi n naturali.$ \frac{n+1}2=\frac{1+2+...+n}n=\frac{n(n+1)}2n $ questa è la media aritmetica dei primi n naturali che è sempre maggiore della GM.
$ n!=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}*...*p^{a_m} $e si dimostra facilmente che esiste sempre un $ a_i $minore di n,quindi $ \displaystyle\sqrt[n]{n!}= $ è irrazionale,e $ \frac{n+1}2 $ non può essere un multiplo intero di un irrazionale.il 2 mi sembra un po' più incazzoso...

[Maioc92]

per il punto 1a ok, per il 2a forse è meglio non darlo per scontato...

si dimostra facilmente che esiste sempre un $ a_i $minore di n

ad esempio io farei cosi:
poichè p è il più grande numero primo minore o uguale a n, il numero $ 2*3*5.....*p+1 $ è maggiore di n. Quindi $ 2*3*5....*p\ge n $, ovvero $ (2*3*5...*p)^n\ge n^n>n! $. Pertanto è impossibile che tutti gli esponenti siano maggiori o uguali a n

[SkZ]

oppure con quel p e il postulato di bernard. tanto siamo in MNE

[g(n)]

Ma usando Stirling, che è sottoforma di limite, come si fa a dimostrare che per ogni $ {n} $ vale la disuguaglianza al punto (ii)? (ovviamente col $ k $ apposito)

[ma_go]

Ma usando la formula di Stirling viene in un attimo (o perlomeno se è sottoforma di disuguaglianza...)

Se vi riferite alla dimostrazione della formula, non la conosco...ho semplicemente trovato questa stima, che è più debole di Stirling. Se poi la stima è banale mi scuso, ma l'ho trovata interessante...al massimo lasciatela ai meno esperti

Ma usando Stirling, che è sottoforma di limite, come si fa a dimostrare che per ogni n vale la disuguaglianza al punto (ii)? (ovviamente col k apposito)

mumble.. ti vedo un po' confuso
secondo me basta limite+monotonia (o speranza di monotonia, perché se non è vero quello sono cazzi, imho).

[g(n)]

Pensavo che con "usare Stirling" si intendesse usare una presunta "disuguaglianza di Stirling" del tipo $ \displaystyle n!>{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n} $ che chiaramente, unita al limite, sistemava tutto subito (e in effetti su Wikipedia si trova qualcosa di simile)

Ovviamente se si usa Stirling solo come limite serve anche la monotonia o qualcos'altro, comunque come ho già detto non sono passato da qui per la soluzione

PS Non ho mai nominato Stirling così tante volte in vita mia

[g(n)]

Comunque se proprio non state nella pelle va bene anche Stirling+monotonia

[Tibor Gallai]

postulato di bernard

Bertrand.

[jordan]

Possiamo usare una forma di Stirling molto più forte di quella citata: $ \ln(n!)=n\ln(n)-n+\frac{1}{2}\ln(2\pi n)+(12n)^{-1}+O(n^{-2}) $..
La dimostrazione è tutt'altro che difficile, usa soltanto una formula di sommazione parziale e una proprietà del prodotto di Wallis (se poi si vuole anche quel 1/12n servono sviluppi in serie di Fourier, anltrimenti ci possiamo anche accontentare di un O(1/n)..)

[SkZ]

postulato di bernard

Bertrand.

considerato che, data la mia inesistente memoria per i nomi, ho controllato su wiki prima il nome, qualcuno mi spiega come ho fatto a sbagliare in quel modo a scriverlo