modificando ipotesi..

[exodd]

trovare il massimo $ \displaystile{m} $ e il minimo $ \displaystile{M} $ per cui vale
$ m \le \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \le M $
per ogni terna $ \displaystile{a,b,c} $ di reali positivi tali che $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 $

[dario2994]

Bueno... penso di aver concluso per il valore di m ... ma ho dovuto usare i limiti... senza conoscerli molto xD

Prima di tutto sfrutto l'ipotesi e svolgendo i calcoli ottengo un bel lemmino:
$ $\sum_{cyc}{ab}=abc\ \ \ \ (1)$ $

Ora svolgo i calcoli nell'espressione data:

$ $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{\sum_{cyc}{abc+ab+ca+a}}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{3abc+2\sum_{cyc}{ab}+\sum_{cyc}{a}}{abc+\sum_{cyc}{ab}+1}$ $
Ora sfruttando (1) ottengo:

$ $\frac{5abc+a+b+c}{2abc+1}\ \ \ \ \ (2)$ $
Da qui noto che è ovviamente sempre maggiore di 5/2 dato che a+b+c è ovviamente sempre maggiore di 5/2 (almeno 3). Ma fissando a=b=x sfruttando i limiti ottengo questo:
$ $\lim_{x\to\infty}{1/x+1/x+1/c=1\Rightarrow c=1}$ $
Perciò ho ottenuto una tripla che soddisfa l'ipotesi e sfruttando questi valori sostituisco in (2):
$ $\lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+2x+1}{2x^2+1}=\frac{5}{2}$ $
Perciò ho dimostrato che m=5/2.

[Maioc92]

a me viene 9/4......
posso vederlo come $ \displaystyle \frac 1 {1+\frac 1 a}+\frac 1 {1+\frac 1 b}+\frac 1 {1+\frac 1 c} $. Chiamando X la quantità e usando am-hm trovo che $ \displaystyle x\ge \frac 9 {3+\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c}=\frac 9 4 $

[dario2994]

Potrebbe benissimo essere che ho fatto un errore (se non più di uno)... ma se scrivi solo il risultato... non lo sapremo mai :|
Sforzati e scrivi la dimostrazione o almeno proponi un controesempio al mio valore (una tripla tale che quell'espressione realizzi meno di 5/2).

[Maioc92]

se vuoi un controesempio poni a=b=c

[julio14]

$ $\frac{\sum_{cyc}{abc+ab+ca+a}}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{3abc+2\sum_{cyc}{ab}+\sum_{cyc}{a}}{abc+\sum_{cyc}{ab}+1}$ $

ti sei perso un pezzo al denominatore

[dario2994]

Sono un demente xD
Ma in ogni caso svolgendo il limite con il denominatore giusto risulta che M=5/2 xD
Almeno qualcosa ho concluso xD
Si trova con ragionamenti praticamente uguali ai precedenti ma notando che è sempre minore di 5/2.

[julio14]

Ok, ora funziona, ma se esplicitassi perché a+b+c>3 e i ragionamenti per cui quella roba è minore di 5/2 (anche prima per il maggiore non c'era scritto granché...) sarebbe meglio, no?

[dario2994]

Allora: a+b+c>3 perchè sono tutti e 3 maggiori di 1 dato che se uno fosse minore allora il suo inverso sarebbe maggiore di 1 portando ad un assurdo dato che sono tutti positivi.
La nuova espressione è:
$ $\frac{5abc+a+b+c}{2abc+a+b+c+1}$ $
Questo è sempre minore di 5/2 dato che fissando abc=k e a+b+c=2z ottengo:
$ $\frac{5k+2z}{2k+2z+1}=\frac{5k+5z-3z}{2k+2z+1}=\frac{5k+5z}{2k+2z+1}-\frac{3z}{2k+2z+1}$ $
Ora fisso k+z=n; ottenendo:
$ $\frac{5n}{2n+1}-\frac{3z}{2n+1}<\frac{5n}{2n+1}<\frac{5n}{2n}=5/2$ $
Più chiaro di così si muore... ho fatto tutti i passaggi xD