Pseudo-fattoriale, phi, mu, chi piu` ne ha ne metta

[stefanos]

Siano $ $~(a, b)$ $ il massimo comune divisore dei numeri a, b, $ $~\phi(n)$ $ il totiente di Eulero (che conta i numeri coprimi con n compresi tra 1 e n), $ $~\mu(n)$ $ la funzione di Möbius, che vale 0 per n non square-free (cioe` esiste almeno un numero primo p tale che $ $~p^2 | n$ $), e $ $~(-1)^{\omega(n)}$ $ altrimenti, dove $ $~\omega(n)$ $ e` il numero di fattori primi distinti di n ($ $~\omega(1) = 1$ $). Sia inoltre $ $~n!$ $ il fattoriale di n.

Dimostrare che
$ $~\prod_{k=1, (k, n)=1}^n k = n^{\phi(n)} \prod_{d|n} \left( \frac{d!}{d^d} \right)^{\mu\left( \frac{n}{d} \right)}.$ $

(Nel primo membro, la produttoria e` estesa a tutti i termini k compresi tra 1 e n e coprimi con n)

[jordan]

[...]Dimostrare che $ $~\prod_{k=1, (k, n)=1}^n k = n^{\phi(n)} \prod_{d|n} \left( \frac{d!}{d^d} \right)^{\mu\left( \frac{n}{d} \right)}.$ $.

Siano definite le funzioni $ a(\cdot), b(\cdot), c(\cdot), d(\cdot), u(\cdot) $ tali che $ \displaystyle a(n):=\prod_{1 \le i \le n, (i,n)=1}{in^{-1}} $, $ \displaystyle b(n):=n!n^{-n} $, $ c(n)=\ln(a(n)), d(n)=\ln(b(n)), u(n)=1 $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $; allora $ b(n)=\displaystyle \prod_{1 \le i \le n}{in^{-1}}=\prod_{d \mid n}{a(d)} $ cioè $ (u*c)(n)=d(n) $, dove $ * $ denota il prodotto di convoluzione, o equivalentemente $ e^{c(n)}=e^{(d*\mu)(n)} $, che è proprio la nostra tesi. []