palle russe variamente tagliate

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

olimpiadi CSI (Ex URSS) \'92
 
 18. A plane intersects a sphere in a circle C. The points A and B lie on the sphere on opposite sides of the plane. The line joining A to the center of the sphere is normal to the plane. Another plane p intersects the segment AB and meets C at P and Q. Show that BP.BQ is independent of the choice of p.

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Io l\'inglese non lo mastico.

ale86 · Messaggio da **ale86** » 01 gen 1970, 01:33

Ehm... Come l\'ho tradotto io mi viene troppo facile, quindi l\'ho tradotto male

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Un piano taglia una sfera secondo un cerchio c. Siano A e B due punti della sfera da parti opposte rispetto al piano di c. A sta sulla normale dal centro della sfera al piano c. Un altro piano p attraverso AB incontra c in P e Q. Provare che BP*BQ e\' indipendente dalla scelta di p.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Visto che e\' il momento della geometria robusta, vorrei esortarvi a provare questo problema che e\' molto carino.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Questo problema sta diventando una palla al piede... liberiamocene.
 Prima di tutto, volevo fare un chiarimento sul testo, che è molto ambiguo: A e B stanno sulla superficie della sfera, non all\'interno, altrimenti la tesi cade. Per lo stesso motivo, il piano p non deve semplicemente intersecare la retta AB, ma deve contenerla. Detto questo, procediamo.
 
 Per ogni scelta di P e Q, il quadrilatero APBQ è inscrivibile in una circonferenza, perchè i vertici sono complanari ed appartengono alla superficie della sfera. Inoltre, AP=AQ, quindi BA è la bisettrice di <PBQ.
 Ora, poniamoci nel piano p e facciamolo variare, osservando come varia il quadrilatero APBQ. Il segmento AB rimane sempre uguale a se stesso, così come AP e AQ. In pratica, nel nostro \"piano rotante\", P e Q variano su una circonferenza di centro A, e sempre in modo che gli angoli <PBA e <QBA siano uguali. Inoltre, c\'è un punto H che appartiene a tutte le corde PQ (che sarebbe il punto in cui AB interseca il cerchio c: tale punto rimane fisso nel \"piano rotante\"). Infine, quando H è il punto medio di PQ, allora <APB=<AQB=90°, perchè APBQ è ciclico. Ma allora, escludendo questo caso limite, per ogni scelta di P e Q, esattamente uno dei segmenti BP e BQ (supponiamo BQ) interseca la circonferenza in un altro punto R, e visto che BA è bisettrice di <PBQ, vale BP=BR. Dunque, per il teorema delle 2 secanti (ed il teorema della secante e della tangente), il prodotto BR*BQ=BP*BQ è costante. Il caso in cui R appartiene a BP è esattamente simmetrico, e fa ottenere lo stesso prodotto.[addsig]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Mi e\' tutto chiaro ( e corrispondente alla mia analisi) fino al passo in cui introduci il punto R. (e praticamente il piu\' l\'hai fatto)
 
 Da dove viene fuori?
 
 E\' il punto intersezione di BQ con quale circonferenza?
 
 
 Ok! ora ci sono. Ho capito cosa e\' R. Ma il resto della prova non mi convince del tutto. Come fai a dire che BR*BQ e\' costante?
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 03-03-2003 11:36 ]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Lo so, non è il massimo della chiarezza... però sono convinto che funzioni!
 
 Adesso mi spiego meglio: dimentichiamo di avere una sfera, dei piani e altre diavolerie. Abbiamo solo un piano rotante, p, su cui ci sono degli elementi che rimangono fissi: il segmento AB, una circonferenza centrata in A ed il punto H su AB. B sta all\'esterno della circonferenza, mentre H sta dentro.
 
 Fatte le presentazioni, passiamo al dunque. Con i dati che abbiamo, possiamo permetterci di fregarcene di come variano esattamente P e Q. Quello che sappiamo ci basta, e cioè che P e Q sono gli estremi di una corda passante per H, che BA è bisettrice di <PBQ, e che quando PQ e AB sono perpendicolari, allora BP e BQ sono tangenti alla circonferenza.
 
 In tutti gli altri casi, GRAZIE AL VINCOLO DEL PUNTO H (e forse era questo il passo incomprensibile), siamo sicuri che solo uno dei 2 segmenti BP e BQ (per esempio BQ) intersechi la circonferenza in un ulteriore punto R. Ora, BR*BQ è costante perchè lo dice il teorema delle secanti, che comunque si dimostra al volo considerando i triangoli simili... Ma BP=BR perchè BA è asse di simmetria di tutta la baracca, e la tesi segue.
 
 Adesso si dovrebbe capire qualcosa di più, o almeno lo spero, altrimenti mi ritiro per un corso elementare di efficacia comunicativa.
 
 sprmnt21, per caso tu hai trovato un\'altra soluzione più bella? Let me know, please!

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<< Fatte le presentazioni, passiamo al dunque. Con i dati che abbiamo, possiamo permetterci di fregarcene di come variano esattamente P e Q. Quello che sappiamo ci basta, e cioè che P e Q sono gli estremi di una corda passante per H, che BA è bisettrice di <PBQ, ...>>
 
 
 perfettamente d\'accordo.
 
 
 << ...e che quando PQ e AB sono perpendicolari, allora BP e BQ sono tangenti alla circonferenza. >>
 
 inunfluente.
 
 
 
 << In tutti gli altri casi, GRAZIE AL VINCOLO DEL PUNTO H (e forse era questo il passo incomprensibile), siamo sicuri che solo uno dei 2 segmenti BP e BQ (per esempio BQ) intersechi la circonferenza in un ulteriore punto R.>>
 
 
 In effetti sia BQ che BQ intersecano la circonferenza di centro A e raggio AP(=AQ) in un secondo punto.
 
 
 << Ora, BR*BQ è costante perchè lo dice il teorema delle secanti, che comunque si dimostra al volo considerando i triangoli simili... >>
 
 
 ecco... qua, secondo me, dovresti essere piu\' preciso. A cosa applichi il teorema delle secanti, che di per se\' non dice che il prodotto di due segmenti e\' costante ma invece che il prodotto di due segmenti e\' uguale al prodotto di due altri segmenti?
 
 I dati fissi, come indicato sopra, sono il segmento AB e il punto H. secondo me, e\' solo in funzione di questi che dovresti impostare il ragionamento.
 
 << Adesso si dovrebbe capire qualcosa di più, o almeno lo spero, altrimenti mi ritiro per un corso elementare di efficacia comunicativa. >>
 
 o forse sono io che devo seguire un qualche corso. chissa\'?
 
 
 << sprmnt21, per caso tu hai trovato un\'altra soluzione più bella? Let me know, please! >>
 
 
 no. la mia soluzione e\' uguale alla tua (a parte forse quest\'ultimo passo che io ho difficolta a seguire).

Ospite · Messaggio da **Ospite** » 01 gen 1970, 01:33

ok...cosi la dimostrazione funziona ma siete sicuri che la traduzione del problema sia prorpio corretta??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> [addsig]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-03-04 11:34, sprmnt21 wrote:
 I dati fissi, come indicato sopra, sono il segmento AB e il punto H. secondo me, e\' solo in funzione di questi che dovresti impostare il ragionamento.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ecco qua allora la fonte di ogni dubbio!
 Anche la circonferenza di centro A è fissata, nel piano p! Infatti, è la circonferenza su cui variano P e Q, che hanno sempre la stessa distanza da A perchè A è nel centro della calotta sferica.
 
 E poi, non è vero che è ininfluente il fatto che BP e BQ siano tangenti alla circonferenza quando H è il punto medio di PQ! Se non fosse così, non potremmo concludere che uno solo tra BP e BQ interseca la circonferenza in 2 punti (per BP e BQ intendo i segmenti, non le rette). Prova a farti un disegno con H spostato leggermente verso A o verso B, per capire cosa intendo.
 
 Ora, dato che il raggio r della circonferenza è fissato, è fissato anche il prodotto BR*BQ (se R sta su BQ), e vale AB^2 - r^2. Ma BA è bisettrice di <PBR, quindi BR*BQ = BP*BQ.
 
 C\'è ancora qualcosa di poco chiaro? In effetti, il fatto di cambiare \"sistema di riferimento\" e spostarsi sul piano rotante non l\'ho espresso in modo molto rigoroso perchè non sono capace, ma intuitivamente credo si capisca!

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Ora e\' chiaro.
 Ma devo dire che non sono d\'accordo con quanto affermi. Non e\' vero in generale che BQ*BR=Ab^2-r^2 (questo e\' vero solo per il particolare piano p che fa\' cadere H nel punto di mezzo di PQ, come hai correttamente osservato tu. Ma il problema chiede di provare l\'indipendenza del prodotto dal particolare piano del fascio di piani con asse AB).

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Allora ho veramente qualche difficoltà espositiva. <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 Dunque, sei d\'accordo sul fatto che, quando H è punto medio di PQ, allora BR*BQ = AB^2 - r^2. Ora, ruota il piano p attorno ad AB, e guarda dove vanno a finire P e Q. Sicuramente non varia la loro distanza da A, quindi appartengono ancora alla stessa circonferenza su p. Poi, PQ passa ancora per H, il quale è rimasto fisso perchè appartiene ad AB. Da questo, deduci di nuovo che BR*BQ = AB^2 - r^2, e visto che sia AB che r sono rimasti fissi, concludi che il prodotto è costante.
 
 Va meglio, così? Non so in che altro modo spiegarlo, mi dispiace... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa Antimateria, per averti impegnato in questo sforzo comunicativo.
 
 Mi cospargo il capo di cenere.
 
 Ma nell\'ultimo caso non era questione di essere poco chiaro e\' che\' mi sono proprio sbagliato: HAI RAGIONE TU!
 
 
 Io quest\'ultimo passo l\'avevo sbrogliato cosi\':
 
 consideando un generico piano p, nel cerchio c(ABPQ) si ha che < BPQ = < BAQ e < PBA = < QBA pertanto i traingoli PHB e AQB sono simili. Da questo deriva che BP/BH=BA/BQ cioe\' BP*BQ = BH*BA=costante.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Nessun problema, l\'importante è aver trovato un accordo! Comunque, come eleganza è molto meglio la tua soluzione, la mia è troppo macchinosa!