Birapporto su conica
Birapporto su conica
Sia $ \Gamma $ una conica e $ A,B,C,D,T\in\Gamma $. Dimostrare che $ (TA:TB:TC:TD) $ è indipendente dalla scelta di $ T $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Consiglio di dare un'occhiata qui
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Infatti voleva essere un ripassino.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Allora...
1) dati un punto P e una retta r non per P, per ogni punto A del piano consideriamo la retta s per P e A, sia Q l'intersezione tra s e r e sia B il quarto armonico per P,Q,A ovvero (P,Q;A,B)=-1; definiamo allora f(A)=B. Tale funzione è una proiettività.
2) data una conica e dato un punto P non su di essa, consideriamo la retta r che è polare di P rispetto alla conica; definiamo la proiettività f come al punto 1 ed osserviamo che, se s per P interseca la conica in A e B e r in Q, allora (P,Q;A,B)=-1. Quindi f fissa la conica e scambia le intersezioni delle rette per P con questa.
Quindi le due quaterne sono scambiate da f senza alterare la conica e perciò hanno lo stesso birapporto rispetto alla conica: basta considerare un punto L tale che PL è tangente alla conica e si avrà che (LA,LB;LC,LD)=(LE,LF;LG,LH).
1) dati un punto P e una retta r non per P, per ogni punto A del piano consideriamo la retta s per P e A, sia Q l'intersezione tra s e r e sia B il quarto armonico per P,Q,A ovvero (P,Q;A,B)=-1; definiamo allora f(A)=B. Tale funzione è una proiettività.
2) data una conica e dato un punto P non su di essa, consideriamo la retta r che è polare di P rispetto alla conica; definiamo la proiettività f come al punto 1 ed osserviamo che, se s per P interseca la conica in A e B e r in Q, allora (P,Q;A,B)=-1. Quindi f fissa la conica e scambia le intersezioni delle rette per P con questa.
Quindi le due quaterne sono scambiate da f senza alterare la conica e perciò hanno lo stesso birapporto rispetto alla conica: basta considerare un punto L tale che PL è tangente alla conica e si avrà che (LA,LB;LC,LD)=(LE,LF;LG,LH).
Cavolo è impossibile batterti sul tempo! 
Stavo ancora tentando di dimostrare che la funzione che scambia le intersezioni è una proiettività. Comunque sono contento di aver per lo meno pensato la strada giusta.
Quanto alla conclusione, mi pare che non sempre si possa trovare un tale $ L $ come lo definisci tu, ovvero che $ PL $ sia tangente. Tuttavia non è neanche necessario perchè si può prendere un $ L $ generico su $ \Gamma $ e dire che $ (A:B:C:D)_{\Gamma}=(LA:LB:LC:LD)= $$ (L'A':L'B':L'C':L'D')=(A':B':C':D')_{\Gamma} $, dove gli apici indicano le immagini in base alla proiettività.
Stavo ancora tentando di dimostrare che la funzione che scambia le intersezioni è una proiettività. Comunque sono contento di aver per lo meno pensato la strada giusta.
Quanto alla conclusione, mi pare che non sempre si possa trovare un tale $ L $ come lo definisci tu, ovvero che $ PL $ sia tangente. Tuttavia non è neanche necessario perchè si può prendere un $ L $ generico su $ \Gamma $ e dire che $ (A:B:C:D)_{\Gamma}=(LA:LB:LC:LD)= $$ (L'A':L'B':L'C':L'D')=(A':B':C':D')_{\Gamma} $, dove gli apici indicano le immagini in base alla proiettività.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
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Chiarissimo! Grazie a tutti e due!