functions.zip

[FeddyStra]

Sia $ D\subseteq\mathbb R $. Sia inoltre $ \mathcal F $ un insieme di funzioni continue $ D\to\mathbb R $. Diciamo che una funzione $ g(\cdot):D\to\mathbb R $ zippa $ \mathcal F $ se, in base a un criterio prestabilito, è possibile ricostruire, a partire da $ g(\cdot) $, ogni $ f_i\in\mathcal F $.

A) Sia $ D $ un intervallo chiuso.
---A.1) Sia $ \mathcal F $ un insieme finito. È possibile trovare una funzione che zippa $ \mathcal F $? È possibile trovarne una continua?
---A.2) Sia $ \mathcal F $ un insieme numerabile. È possibile trovare una funzione che zippa $ \mathcal F $? È possibile trovarne una continua?

B) Sia $ D=\mathbb R $.
---B.1) Sia $ \mathcal F $ un insieme finito. È possibile trovare una funzione che zippa $ \mathcal F $? È possibile trovarne una continua?
---B.2) Sia $ \mathcal F $ un insieme numerabile. È possibile trovare una funzione che zippa $ \mathcal F $? È possibile trovarne una continua?

C) Bonus question: discutere il caso in cui $ \mathcal F $ non è numerabile!

Se non dovesse essere chiaro cosa si intende per zippa, chiedete pure, anche per mp.

[Tibor Gallai]

Ma $ $\mathcal R $ sarebbe $ $\mathbb R $?

[dario2994]

Se ho capito il senso di zippare e anche il resto delle ipotesi forse ho risolto A1 (senza continuità):
Date le k $ f_i $ e $ D=[m,n] $
Definisco la funzione zippante G così:
$ G:[m,m+k(n-m)]\to \mathbb{R} $
I valori che assume G con parametro appartenente a $ [m+(i-1)(n-m),m+i(n-m)] $ sono uguali a $ f_i $

Spero di non aver toppato completamente xD

Edit: Mi sono accorto che dovrebbe funzionare anche con A2 senza continuità

[Tibor Gallai]

Risolvo il B2, gli altri si fanno circa nello stesso modo (a parte il C).
Basta codificare i valori delle funzioni sui razionali (perché sono continue), quindi abbiamo in totale una quantità numerabile di numeri da codificare. Li ordiniamo in un qualche modo, e li piazziamo sugli interi. Quindi g è fissata solo sugli interi, e può essere estesa con continuità.

Se vogliamo che lo zippaggio sia "calcolabile" (in un senso non meglio precisato ma intuibile e comunque precisabile), possiamo definire un ordinamento calcolabile sui numeri che dobbiamo codificare, per esempio uno di quelli usati tradizionalmente per dimostrare che i razionali sono numerabili. In questo modo esiste una procedura calcolabile per ricavare il valore di ogni funzione f in ogni punto x: dall'indice della funzione f si risale ai sotto-indici che codificano la funzione, e leggendo i valori di g in questi punti si può ricavare in successione ogni cifra di f(x). Infatti basta leggere f su una successione di razionali che approssimano x, ed approssimare così f(x) per continuità di f.

[FeddyStra]

Ma $ $\mathcal R $ sarebbe $ $\mathbb R $?

Corretto.

[FeddyStra]

Se ho capito il senso di zippare e anche il resto delle ipotesi forse ho risolto A1 (senza continuità):

In A.1 la continuità si guadagna facilmente apportando una lieve modifica. Tu hai diviso in $ k $ intervalli e in ognuno di questi hai collocato una $ f_i $. Prova invece a dividere $ D $ in $ 2k-1 $ intervalli: in quelli dispari metti una $ f_i $, in quelli pari metti dei segmenti che fanno sì che la funzione risulti continua.

Risolvo il B2, gli altri si fanno circa nello stesso modo (a parte il C). [...]

Bene. C'è anche un metodo più costruttivo, che però perde la continuità. Associ un primo $ p_i $ a ogni funzione $ f_i $. Ora, per ogni $ \displaystyle x=\frac ab\in\mathbb Q, (a,b)=1 $, se $ b=p_i^k $ allora $ g(x)=f_i(x) $.

Ora coraggio e avanti con il C!
Hint: è possibile trovare un insieme $ K\subset\mathbb R $ non numerabile tale che se $ \alpha,\beta\in K $ allora $ \displaystyle\frac\alpha\beta\in\mathbb Q\implies\alpha=\beta $?

[Tibor Gallai]

Aggiungo una nota per l'A2.
Si crea g nello stesso modo (ignorando eventualmente il valore delle f sul bordo dell'intervallo, nel caso di estremi razionali), ma poi si presenta il problema di restringere il dominio a un intervallo CHIUSO, preservando la continuità anche sul bordo.
Si può risolvere in questo modo: si crea h a partire da g, ponendo h(2n)=0 se |g(n)|<1, e h(2n)=1 altrimenti. Poi si pone h(2n+1)=g(n)/(|n|+1) se h(2n)=0, e h(2n+1)=1/(g(n)*(|n|+1)) altrimenti. In questo modo h(n) e h(-n) tendono a 0. Si estende h ad una funzione lineare a tratti con "nodi" negli interi, e la si rimappa sull'intervallo D con un'arcotangente, ponendola a 0 sugli estremi dell'intervallo.
Tutte le operazioni eseguite possono essere invertite in modo calcolabile.

[Tibor Gallai]

Sei sicuro che il C non dipenda dall'ipotesi del continuo?
Se F ha cardinalità del continuo (o maggiore) lo zippaggio con funzioni continue è impossibile per ragioni di cardinalità. Altrimenti?
(Inoltre non capisco a cosa serva l'hint.)

[FeddyStra]

Se F ha cardinalità del continuo (o maggiore) lo zippaggio con funzioni continue è impossibile per ragioni di cardinalità. Altrimenti?
(Inoltre non capisco a cosa serva l'hint.)

Riguardo al punto C, infatti, c'è ancora qualcosa in sospeso.
Che non si possa zippare con continuità, mi è abbastanza chiaro, anche se non l'ho formalizzato per bene (ti spiacerebbe mostrarmi come si potrebbe fare?).
A ogni modo, io mi sono limitato a considerare il caso in cui la cardinalità di $ \mathcal F $ è quella dei reali. Che uno zippaggio (non continuo) sia possibile, si può dimostrare nel seguente modo. Sia $ K $ un insieme con la proprieta definita sopra. Per ogni $ \alpha\in K $ e $ q\in\mathbb Q\setminus\{0\} $ si pone $ g(q\alpha)=f_\alpha(q\alpha) $. Resta da dimostrare che un tale $ K $ esiste.

[Tibor Gallai]

Allora, io ignoravo le g non continue per gli (impliciti) requisiti di calcolabilità che il tuo problema impone. E' vero che non stiamo definendo alcun concetto di calcolabilità (colpevolmente!), ma è anche ovvio che senza discorsi sulla calcolabilità il tutto si ridurrebbe ad un problema di cardinalità, facendo perdere un bel po' di attrattiva a tutta la questione.

Comunque, il K che definisci esiste come conseguenza dell'assioma della scelta. Appunto per questa ragione non è "calcolabile". Mi spiego?

Che non si possa zippare con continuità, mi è abbastanza chiaro, anche se non l'ho formalizzato per bene (ti spiacerebbe mostrarmi come si potrebbe fare?).

Probabilmente sai che le parti di un insieme hanno cardinalità maggiore dell'insieme stesso. Allora prova a cercare una funzione iniettiva dalle parti di R alla classe degli insiemi F che vorresti codificare. Poiché le funzioni continue sono equipotenti a R, non puoi usarle per codificare in modo univoco questi insiemi.