La figura sottostante, in cui il lato di ogni quadratino corrisponde a 100 metri, rappresenta un fiume ed un suo affluente. Nella zona è possibile costruire strade lungo qualunque tracciato, con l’unico vincolo che gli eventuali ponti devono risultare perpendicolari alla direzione dei rispettivi corsi d’acqua.
(a) Determinare la lunghezza minima possibile per una strada (eventuali ponti compresi) che unisce il punto A ed il punto B.
(b) Determinare la lunghezza minima possibile per una strada (eventuali punti compresi) che unisce il punto A ed il punto C.
Il punto a) dovrei essere riuscito a farlo trovando la distanza totale in funzione del punto di attraversamento del fiume e quindi trovando il minimo con la derivata.
Per il punto b) però questa strategia diventa un casino, però non riesco a trovare trucchi geometrici per risolverlo...
SSSUP: Percorso più breve
SSSUP: Percorso più breve
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A me verrebbe da congiungere con una linea $ A $ e $ B $. Poi intersecherei questo segmento $ AB $ con la retta equidistante dalle due sponde del fiume, ottenendo un punto $ E $. Poi traccerei la perpendicolare al fiume passante per $ E $, ottenendo sulle sponde del fiume i punti $ H $ e $ K $. Infine congiungerei i punti e il percorso minimo risulterebbe $ AH + HK + KB $.
Questo è ciò che farei, ma non so motivare i passaggi.
Comunque a me verrebbe $ 50*(\sqrt{41}+\sqrt{13}+2) $
Stessa cosa per il punto (b)
Questo è ciò che farei, ma non so motivare i passaggi.
Comunque a me verrebbe $ 50*(\sqrt{41}+\sqrt{13}+2) $
Stessa cosa per il punto (b)
Ultima modifica di Iuppiter il 04 set 2009, 16:45, modificato 1 volta in totale.
I tuoi risultati li considero moltiplicati per 100.
Per quanto riguarda il punto (a) a me viene $ 600,43m $, mentre a te $ 600m $, quindi dovrebbe essere giusto il tuo metodo (anche se non l'ho capito).
Per il punto (b) penso che il tuo risultato sia sbagliato, perchè secondo quello che hai scritto tu, il cammino più breve sarebbe di $ 1121,21m $ mentre in realtà il risultato deve essere maggiore di $ 1720m $(distanza in linea d'aria da $ A $a $ C $).
A me viene $ 1743m $ circa.
Per quanto riguarda il punto (a) a me viene $ 600,43m $, mentre a te $ 600m $, quindi dovrebbe essere giusto il tuo metodo (anche se non l'ho capito).
Per il punto (b) penso che il tuo risultato sia sbagliato, perchè secondo quello che hai scritto tu, il cammino più breve sarebbe di $ 1121,21m $ mentre in realtà il risultato deve essere maggiore di $ 1720m $(distanza in linea d'aria da $ A $a $ C $).
A me viene $ 1743m $ circa.
Alur la cosa funziona così
Prima di tutto si interpreta il fiume come vettore (per usare paroloni) e si trasla il punto di arrivo B del vettore fiume... che ha direzione perpendicolare al fiume stesso, verso dalla parte del punto d'inizio e modulo la larghezza del fiume.
Ora ho ottenuto un punto B'... Calcolo AB' e ci aggiungo il modulo del vettore :)
È ovvio che questo realizza la distanza minima ;)
Per dimostrarlo basta ragionare al contrario... partendo da un percorso che realizza la distanza minima e dimostrare che è quello descritto ;)
Per i 2 fiumi si devono ovviamente "comprimere" entrambi.
Prima di tutto si interpreta il fiume come vettore (per usare paroloni) e si trasla il punto di arrivo B del vettore fiume... che ha direzione perpendicolare al fiume stesso, verso dalla parte del punto d'inizio e modulo la larghezza del fiume.
Ora ho ottenuto un punto B'... Calcolo AB' e ci aggiungo il modulo del vettore :)
È ovvio che questo realizza la distanza minima ;)
Per dimostrarlo basta ragionare al contrario... partendo da un percorso che realizza la distanza minima e dimostrare che è quello descritto ;)
Per i 2 fiumi si devono ovviamente "comprimere" entrambi.
mrossi quello che dice dario equivale nel tuo metodo al fatto che l'attraversamento del fiume,poichè deve essere compiuto perpendicolarmente, è una costante e quindi non influisce sulla funzione da derivare,ma va aggiunto dopo
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Credo che la mia risposta sia sostanzialmente uguale a quella di Dario, ma la riporto egualmente: un po' perchè gia preparata e un po' perchè mi sembra espressa in modo più semplice.
Generalizziamo: i punti P e Q sono separati da una striscia larga h, che va attraversata perpendicolarmente con il segmento HK. Trovare il percorso di minima lunghezza che unisce P e Q.
Traccio PR=h perpendicolare alla striscia e verso essa; PRKH è un parallelogramma, quindi PH=RK. Si ha
strada=PH+HK+KQ=RK+h+KQ
ed è minima se lo è RK+KQ, cioè se K è sul segmento RQ.
In alternativa, si può tracciare QS=h come sopra; H è su PS.
Generalizziamo: i punti P e Q sono separati da una striscia larga h, che va attraversata perpendicolarmente con il segmento HK. Trovare il percorso di minima lunghezza che unisce P e Q.
Traccio PR=h perpendicolare alla striscia e verso essa; PRKH è un parallelogramma, quindi PH=RK. Si ha
strada=PH+HK+KQ=RK+h+KQ
ed è minima se lo è RK+KQ, cioè se K è sul segmento RQ.
In alternativa, si può tracciare QS=h come sopra; H è su PS.