La Scuola Sant’Anna ha deciso di partecipare al campionato di Formula Uno con una vettura, e si sta preparando per il prossimo gran premio che si svolgerà sul
circuito di Montecarlo (comune della provincia di Lucca). I suoi ingegneri hanno a disposizione i seguenti dati:
- la gara consiste in 120 giri di pista;
- la capacità del serbatoio della vettura permette, se necessario, di completare la gara senza alcun pit-stop.
- Per un pit-stop si impiegano 30 secondi in totale, compresi i tempi di rallentamento ed accelerazione, indipendentemente dalla quantità di carburante immessa;
- per ogni giro si consumano, indipendentemente da ogni
altro parametro, 3 kg di carburante;
- il tempo di percorrenza di un giro aumenta di 3 centesimi di secondo per ogni kg di carburante in più presente nel serbatoio all’inizio del giro stesso;
Determinare la strategia (cioè il numero dei pit-stop da effettuare ed i giri nei quali effettuarli) per permettere di terminare la gara nel minor tempo possibile.
So che è abbastanza facile... E' per controllare di aver fatto giusto
SSSUP: Gran premio
Provo a risolverlo.
Chiamo $ R $ il record del giro (ovvero il tempo impiegato per percorrere un giro con tre kg di carburante).
Vediamo quando un pit-stop diventa vantaggioso:
-Tempo di percorrenza di $ 2k $giri senza pit-stop = $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 $
-Tempo di percorrenza di $ 2k $ giri con un pit-stop = $ 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2) $
A questo punto trovo quando $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 > 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2 $.
Svolgo i calcoli e ottengo che il pit-stop stop è vantaggioso quando devo compiere più di $ 29.48 $ giri.
Se faccio un pit stop ogni 30 giri, mi basta fare 3 pit stop rispettivamente ai giri 30-esimo, 60-esimo e 90-esimo.
Il tempo che impiego in totale è $ 4*(30R + 30*31/2*0.09)+ 3*30 =120R + 257.4 $
Chiamo $ R $ il record del giro (ovvero il tempo impiegato per percorrere un giro con tre kg di carburante).
Vediamo quando un pit-stop diventa vantaggioso:
-Tempo di percorrenza di $ 2k $giri senza pit-stop = $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 $
-Tempo di percorrenza di $ 2k $ giri con un pit-stop = $ 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2) $
A questo punto trovo quando $ 2kR+0.09*2k(2k+1)/2 > 30+2*(kR + 0.09*k(k+1)/2 $.
Svolgo i calcoli e ottengo che il pit-stop stop è vantaggioso quando devo compiere più di $ 29.48 $ giri.
Se faccio un pit stop ogni 30 giri, mi basta fare 3 pit stop rispettivamente ai giri 30-esimo, 60-esimo e 90-esimo.
Il tempo che impiego in totale è $ 4*(30R + 30*31/2*0.09)+ 3*30 =120R + 257.4 $
Ultima modifica di Iuppiter il 05 set 2009, 13:54, modificato 1 volta in totale.
A me viene che la strategia migliore è fare 4 pit-stop, dividendo quindi il totale di 120 giri in 5 parti da 24 giri.
Infatti il tempo impiegato in funzione del numero n di pit-stop vale
$ \displaystyle t_{tot} = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $
che poi corrisponde alla tua formula per n=3.
Si trova che il minimo sarebbe per n=3.6. Poiché n è intero si prova per n=3 e n=4 e viene rispettivamente 257.4 (probabilmente hai sbagliato a scrivere il risultato perché anche nella tua formula risulterebbe così) e 255.
Infatti il tempo impiegato in funzione del numero n di pit-stop vale
$ \displaystyle t_{tot} = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $
che poi corrisponde alla tua formula per n=3.
Si trova che il minimo sarebbe per n=3.6. Poiché n è intero si prova per n=3 e n=4 e viene rispettivamente 257.4 (probabilmente hai sbagliato a scrivere il risultato perché anche nella tua formula risulterebbe così) e 255.
Il minimo lo trovi studiando il segno della derivata della funzione t(n) pensando n reale.Iuppiter ha scritto:Ma come hai fatto, partendo dalla tua fomula, a trovare che il minimo è 3,6?
La funzione abbiamo visto che è
$ \displaystyle t(n) = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $
La cui derivata è
$ \displaystyle t'(n)= \frac {30n^2+60n-6180} {(n+1)^2} $
che è uguale a zero per $ \displaystyle n=\frac {6 \sqrt{15}} {5}-1 \approx 3.6 $,
maggiore di zero per $ n > 3.6 $ e minore di zero per $ n<3.6 $.
(C'è ovviamente una seconda soluzione dell'equazione $ t'(n)= 0 $ ma essendo negativa va esclusa)
La funzione risulta quindi decrescente prima di 3.6 e crescente dopo, quindi 3.6 è un minimo. Ovviamente essendo n intero non può valere 3.6, allora provo per sostituzione con 3 e 4 e vedo che per n=4 è minore che per n=3, quindi ho trovato il minimo.
La formula finale che hai trovato è esattamente come la mia, quindi è sbagliata qualche considerazione fatta precedentemente sul numero di giri per cui diventa vantaggioso il pit-stop.Iuppiter ha scritto:E dove stà l'errore nel mio ragionamento?
Comunque anche la mia risoluzione non è da prendere per oro colato...
Non vorrei dire una cavolata perchè non ho mai studiato le derivate, gli integrali e il calcolo infinitesimale e tutta quella roba lì, però mi sembra di ricordare qualcosa...
In pratica, se prendi una funzione qualsiasi e immagini di tracciarne il grafico su un piano cartesiano, la derivata di quella funzione in un suo punto P è la pendenza della tangente alla funzione in P...
Però è meglio che uno più esperto confermi e spieghi meglio, perchè oltre a questo non so andare...
In pratica, se prendi una funzione qualsiasi e immagini di tracciarne il grafico su un piano cartesiano, la derivata di quella funzione in un suo punto P è la pendenza della tangente alla funzione in P...
Però è meglio che uno più esperto confermi e spieghi meglio, perchè oltre a questo non so andare...
A mathematician is a device for turning coffee into theorems. Paul Erdos
If equations are trains threading the landscape of numbers, then no train stops at pi.
Black holes result from God dividing the universe by zero.
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quindi ad esempio con n=4 abbiamo chemrossi ha scritto: $ \displaystyle t(n) = 120R + 30\cdot n+ (n+1)\frac{\frac{120}{n+1}\cdot (\frac{120}{n+1}+1)}{2}\cdot 0.09 $
La cui derivata è
$ \displaystyle t'(n)= \frac {30n^2+60n-6180} {(n+1)^2} $
$ \displaystyle t(4) = 120R + 30\cdot 4+ (4+1)\frac{\frac{120}{4+1}\cdot (\frac{120}{4+1}+1)}{2}\cdot 0.09 = 120R + 255 $
e se riporti $ t(n) $ su un piano cartesiano con
$ n $ sulle ascisse e $ t(n) $ sulle ordinate, ottieni un certo grafico, la cui pendenza nel punto di ascissa $ n = 4 $ sarà:
$ \displaystyle t'(4)= \frac {30\cdot 4^2+60\cdot 4-6180} {(4+1)^2} = -218.4 $
Non ti so dire però come si arriva a trovare la derivata
A mathematician is a device for turning coffee into theorems. Paul Erdos
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Scusami non sapevo che non le avessi ancora studiate.
Comunque, come ha detto Daedalus, il significato geometrico della derivata f'(x) di una funzione f(x) è il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto x alla funzione nel piano cartesiano.
La definizione invece dice che la derivata è il limite del rapporto incrementale, ovvero:
se considero due valori $ x_1 $ e $ x_2 = x_1 + \Delta x $ e i corrispondenti valori $ f(x_1) $ e $ f(x_2)=f(x_1 + \Delta x) $ , la derivata è il valore limite di
$ \displaystyle \frac {f(x_1+ \Delta x) - f(x_1)} {x_1 + \Delta x - x_1} $
supponendo di prendere un intervallo $ \Delta x $ sempre più piccolo.
Esistono poi delle varie regole di derivazione che permettono di ricavare l'espressione della funzione derivata partendo dall'espressione della funzione primitiva.
Ad esempio la derivata d una retta f(x) = ax + b è la funzione costante f'(x) = a (prova a pensare al significato geometrico di derivata), quella di una parabola $ f(x)=ax^2+bx+c $ è $ f'(x)=2ax+b $ eccetera...
La derivata è molto importante nello studio di funzioni perché dà informazioni sull'andamento della funzione primitiva, soprattutto permette di stabilire se è crescente o decrescente (rispettivamente quando la derivata è positiva e negativa) e quindi di trovare i punti in cui la funzione ha valore minimo o massimo.
Comunque, come ha detto Daedalus, il significato geometrico della derivata f'(x) di una funzione f(x) è il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto x alla funzione nel piano cartesiano.
La definizione invece dice che la derivata è il limite del rapporto incrementale, ovvero:
se considero due valori $ x_1 $ e $ x_2 = x_1 + \Delta x $ e i corrispondenti valori $ f(x_1) $ e $ f(x_2)=f(x_1 + \Delta x) $ , la derivata è il valore limite di
$ \displaystyle \frac {f(x_1+ \Delta x) - f(x_1)} {x_1 + \Delta x - x_1} $
supponendo di prendere un intervallo $ \Delta x $ sempre più piccolo.
Esistono poi delle varie regole di derivazione che permettono di ricavare l'espressione della funzione derivata partendo dall'espressione della funzione primitiva.
Ad esempio la derivata d una retta f(x) = ax + b è la funzione costante f'(x) = a (prova a pensare al significato geometrico di derivata), quella di una parabola $ f(x)=ax^2+bx+c $ è $ f'(x)=2ax+b $ eccetera...
La derivata è molto importante nello studio di funzioni perché dà informazioni sull'andamento della funzione primitiva, soprattutto permette di stabilire se è crescente o decrescente (rispettivamente quando la derivata è positiva e negativa) e quindi di trovare i punti in cui la funzione ha valore minimo o massimo.
