Ciclicità con l'inverso
Ciclicità con l'inverso
Siano $ ~ABCD $ un quadrilatero ciclico, $ ~E=AB\cap CD $ e $ ~H $ l'inverso di $ ~AC\cap BD $ (rispetto alla circonferenza circoscritta ad $ ~ABCD $). Allora anche $ ~ADHE $ e $ ~BCHE $ sono ciclici. (Self-owned)
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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chiamiamo O il centro della crf circoscritta a ABCF e $ F = BC \cap DA $ e $ G = BD \cap AC $. Allora come noto GEF è il triangolo diagonale che ha la nota proprietà di essere autopolare, ovvere di avere un lato coincidente con la polare del vertice opposto, quindi FE è la polare di G (questo è anche detto lemma della polare). Essendo la polare di G la perpendicolare a OG nell'inverso di G (H) abbiamo che $ OH \perp EF $. Inoltre siccome G sta su CA, H starà sull'inverso di CA, ovvero la crf circoscritta a AOC, ovvero COAH è ciclico quindi abbiamo che:
$ \angle AHE = 90 - \angle AHO = 90 - \angle ACO = \frac{\angle COA}{2} = \angle CDA = 180 - \angle ADE $ quindi ADEH è ciclico, ugualmente
$ \angle CHE = 90 + \angle OHC = 90 + \angle CAO = 180 - \angle CDA = \angle CBE $ quindi CEHB è ciclico.
$ \angle AHE = 90 - \angle AHO = 90 - \angle ACO = \frac{\angle COA}{2} = \angle CDA = 180 - \angle ADE $ quindi ADEH è ciclico, ugualmente
$ \angle CHE = 90 + \angle OHC = 90 + \angle CAO = 180 - \angle CDA = \angle CBE $ quindi CEHB è ciclico.
Un'altra soluzione (Copyright © EvaristeG):
$ \displaystyle~\measuredangle{ACB}=\measuredangle{CAF}+\measuredangle{AFC}=\measuredangle{CAD}+\measuredangle{DFC} $ (teorema angolo esterno)
$ \displaystyle~\measuredangle{CPD}=\measuredangle{PCB}+\measuredangle{CBP}=\measuredangle{ACB}+\measuredangle{CAD} $$ \displaystyle~=2\measuredangle{CAD}+\measuredangle{DFC}=\measuredangle{COD}+\measuredangle{DFC} $ (angolo esterno + angoli alla circ. e al centro)
dunque $ \displaystyle~\measuredangle{DFC}=\measuredangle{CPD}-\measuredangle{COD} $, ma vale anche $ \displaystyle~\measuredangle{CPD}+\measuredangle{CZD}=\measuredangle{COD} $ (v. sotto), da cui $ \displaystyle~\measuredangle{CPD}-\measuredangle{COD}=-\measuredangle{CZD}=\measuredangle{DZC} $ e infine $ \displaystyle~\measuredangle{DFC}=\measuredangle{DZC} $ (cioè $ \displaystyle~DCZF $ ciclico)
$ \displaystyle~\measuredangle $ indica l'angolo orientato
Si è fatto uso di questo lemma sull'inversione: $ \displaystyle~\measuredangle{RST}+\measuredangle{R'S'T'}=\measuredangle{ROT} $ con $ \displaystyle~R',S',T' $ le immagini di $ \displaystyle~R,S,T $ rispetto a un'inversione di centro $ \displaystyle~O $.
Carina anche quella di Gabriel ovviamente!
$ \displaystyle~\measuredangle{ACB}=\measuredangle{CAF}+\measuredangle{AFC}=\measuredangle{CAD}+\measuredangle{DFC} $ (teorema angolo esterno)
$ \displaystyle~\measuredangle{CPD}=\measuredangle{PCB}+\measuredangle{CBP}=\measuredangle{ACB}+\measuredangle{CAD} $$ \displaystyle~=2\measuredangle{CAD}+\measuredangle{DFC}=\measuredangle{COD}+\measuredangle{DFC} $ (angolo esterno + angoli alla circ. e al centro)
dunque $ \displaystyle~\measuredangle{DFC}=\measuredangle{CPD}-\measuredangle{COD} $, ma vale anche $ \displaystyle~\measuredangle{CPD}+\measuredangle{CZD}=\measuredangle{COD} $ (v. sotto), da cui $ \displaystyle~\measuredangle{CPD}-\measuredangle{COD}=-\measuredangle{CZD}=\measuredangle{DZC} $ e infine $ \displaystyle~\measuredangle{DFC}=\measuredangle{DZC} $ (cioè $ \displaystyle~DCZF $ ciclico)
$ \displaystyle~\measuredangle $ indica l'angolo orientato
Si è fatto uso di questo lemma sull'inversione: $ \displaystyle~\measuredangle{RST}+\measuredangle{R'S'T'}=\measuredangle{ROT} $ con $ \displaystyle~R',S',T' $ le immagini di $ \displaystyle~R,S,T $ rispetto a un'inversione di centro $ \displaystyle~O $.
Carina anche quella di Gabriel ovviamente!
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