SSSUP: Satelliti

[mrossi]

È ben noto che più ci si alza rispetto alla superficie terrestre e più è possibile vedere (o essere visti da) lontano.

a. Un satellite si trova ad altezza h sulla verticale di un punto P della superficie terrestre. Determinare la massima distanza da P sulla superficie terrestre alla quale è ancora possibile vedere il satellite.

b. Una ditta di telecomunicazioni vorrebbe piazzare 4 satelliti in modo che da ogni punto della superficie terrestre sia possibile vederne almeno uno. Per ragioni tecniche, la massima altezza da terra alla quale i satelliti possono essere lanciati è uguale al doppio del raggio terrestre. Determinare se la ditta può raggiungere il suo scopo.

c. Determinare se, in assenza del vincolo sulla massima altezza raggiungibile, sarebbe possibile disporre opportunamente 3 satelliti in modo che da ogni punto della superficie terrestre sia possibile vederne almeno uno.

(Nota: si approssimi la Terra con una sfera di raggio R).

[Iuppiter]

Rispondo al punto A)
$ HP = h $
$ PO = OK = R $
$ \widehat{HOK} = arccos \left (\dfrac{OK}{HO} \right ) = arccos \left (\dfrac{R}{R+h} \right ) $

Ora facciamo una proporzione:

$ \widehat{HOK} : X = 360° : 2{\pi}R $

Quindi $ X = \dfrac{arccos \left (\dfrac{OK}{HO} \right )*{\pi}R}{180} $

[mrossi]

Si il punto A è ok...

Però non saprei come dimostrare in maniera corretta i punti B e C, che secondo me non sono realizzabili (per il C a meno di non mandare i satelliti a distanza infinita).

[FeddyStra]

Punto C.
Un satellite copre meno di una semisfera. Due satelliti, quindi, lasciano due punti antipodali non coperti. Il terzo satellite non può coprirli entrambi.

[mrossi]

Si anch'io avevo pensato lo stesso però non sapevo se bastasse.

Comunque dovrebbe essere analogo anche per il punto B.

[Il_Russo]

Il punto B si può fare. Basta metterli ai vertici di un tetraedro regolare di cui la Terra sia la sfera iscritta. In tal modo l'altezza a cui stanno i satelliti sopra la superficie è esattamente il doppio del raggio terrestre. La dimostrazione deriva dal fatto che il baricentro di un tetraedro, che essendo regolare è anche l'incentro, divide i segmenti che uniscono i vertici alle facce opposte passando per il baricentro in due parti di cui quella contenente il vertice tripla dell'altra. Poiché la parte del segmento che unisce il vertice alla faccia è R la parte rimanente è 3R; R è occupato ancora dalla Terra e rimangono esattamente 2R per alzare il satellite.

[FeddyStra]

Punto C.
Un satellite copre meno di una semisfera. Due satelliti, quindi, lasciano due punti antipodali non coperti. Il terzo satellite non può coprirli entrambi.

Curiosità!