Brutta identita` (inutile, anche)

[stefanos]

Dimostrare che

$ $~\sum_{k=1}^n \frac{\phi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor.$ $

Qui $ $~\phi(\cdot), \mu(\cdot)$ $ sono il totiente di Eulero e la funzione di Moebius, e $ $~\lfloor\cdot\rfloor$ $ e` la funzione parte intera (il piu` grande intero minore o uguale all'argomento).

[Ani-sama]

Lo stile mi ricorda qualcuno...

[jordan]

Lo stile mi ricorda qualcuno...

Chi?

Mostrare che $ $~\sum_{k=1}^n \frac{\phi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor.$ $

Per n=1 è vera, supponiamo che sia verficata per ogni k<n, verifichiamola per n. Dobbiamo mostrare che $ \varphi(n)n^{-1}=\sum_{d \mid n}{\mu(d)d^{-1}} $ o equivalentemente che $ \varphi(n)=(\mu*N)(n) $ dove N(n)=n per ogni n intero positivo, e grazie alla prima inversione di Moebius $ (\varphi*u)(n)=N(n) $ dove u(n)=1 per ogni n intero positivo, che è vera e molto conosciuta (per una verifica basta comparare i gradi dell'n-esimo polinomio ciclotomico e la sua fattorizzazione in polinomi irriducibili su Z[x]).

[Ani-sama]

Lo stile mi ricorda qualcuno...

Chi?

Eh, chi è l'arbiter elegantiae della terminologia numero-teoretica?

[jordan]

Un'idea ce l'avrei, ma usa molto più i \displaystyle, molte reference (a volte inutili), non usa la \phi ma la \varphi e soprattuttto al 90% dei casi esiste una scritta in grassetto own davanti al testo (che di norma non è banale come questo)