Sia $ k \ge 1 $ un numero naturale. Determinare in funzione di $ k $ il numero di interi positivi $ n $ con le seguenti proprietà:
a) in base 10 si scrivono con $ k $ cifre;
b) sono divisibili per 5, e il quoziente $ n/5 $, scritto in base 10, ha ancora $ k $ cifre, tutte dispari.
Feb 2006 (Dimostrativo 16)
Secondo voi quanto è sbagliata questa soluzione?
Sia $ n=a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_k*10^k $ la scittura di n in base 10, dove $ a_i=1,3,5,7,9 $.
Poichè $ n \equiv 0 \pmod 5 $, allora $ a_0 $ può essere solo 5.
E' chiaro che $ n/5=1+a_1*2+a_2*20+...+a_k*2*10^(k-1) $.
Se a_1 minore di 5 la cifra delle unità di n/5 risulterà dispari, perchè somma di 1 e di un numero pari (o 2 o 6), ma la sua cifra delle decine è pari poichè $ 10*a_2*2 $ porta ad una cifra $ c \equiv 2,4,6,8,0 \pmod 10 $. Di conseguenza deve essere a_1 maggiore o uguale a 5, cioè $ a_1=5,7,9 $. Così la prima cifra di $ n/5 $ diventa dispari e così anche quella delle decine.
Avendo visto che se la cifra $ a_i $ di n/5 è dispari solo se la cifra $ a_i=5,7,9 $, allora affinchè $ n/5 $ abbia tutte cifre dispari è necessario che le altre cifre di n, diverse dalla prima che è fissa, siano eligibili solo tra 3 alternative, i numeri possibili sono $ 3^(k-1) $.
Per quanto riguarda il numero di cifre dalla scrittura $ n/5=1+a_1*2+a_2*20+...+a_k*2*10^(k-1) $ si vede che $ 2*a_k>10 $ per tutti i valori 5,7 e 9 trovati, quindi $ n/5>10^k $ ed ha così lo stesso numero di cifre k di n.
Che ne dite? Quanto è prolissa?
Quali parti mancano? Vi prego giudicatemi con pietà...
Sia $ n=a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_k*10^k $ la scittura di n in base 10, dove $ a_i=1,3,5,7,9 $.
Poichè $ n \equiv 0 \pmod 5 $, allora $ a_0 $ può essere solo 5.
E' chiaro che $ n/5=1+a_1*2+a_2*20+...+a_k*2*10^(k-1) $.
Se a_1 minore di 5 la cifra delle unità di n/5 risulterà dispari, perchè somma di 1 e di un numero pari (o 2 o 6), ma la sua cifra delle decine è pari poichè $ 10*a_2*2 $ porta ad una cifra $ c \equiv 2,4,6,8,0 \pmod 10 $. Di conseguenza deve essere a_1 maggiore o uguale a 5, cioè $ a_1=5,7,9 $. Così la prima cifra di $ n/5 $ diventa dispari e così anche quella delle decine.
Avendo visto che se la cifra $ a_i $ di n/5 è dispari solo se la cifra $ a_i=5,7,9 $, allora affinchè $ n/5 $ abbia tutte cifre dispari è necessario che le altre cifre di n, diverse dalla prima che è fissa, siano eligibili solo tra 3 alternative, i numeri possibili sono $ 3^(k-1) $.
Per quanto riguarda il numero di cifre dalla scrittura $ n/5=1+a_1*2+a_2*20+...+a_k*2*10^(k-1) $ si vede che $ 2*a_k>10 $ per tutti i valori 5,7 e 9 trovati, quindi $ n/5>10^k $ ed ha così lo stesso numero di cifre k di n.
Che ne dite? Quanto è prolissa?
Quali parti mancano? Vi prego giudicatemi con pietà...
Ultima modifica di SARLANGA il 10 set 2009, 16:50, modificato 3 volte in totale.
Spero ora vada meglio (scusate per i segni < e $ \ge $ mancanti, ma se li inserisco mi modifica tutto il messaggio!!!FeddyStra ha scritto:Sarai condannato alla pena capitale per aver postato due volte il messaggio e aver fatto casini con i tag tex.SARLANGA ha scritto:Vi prego giudicatemi con pietà...
Edit: aver rimosso il doppione non ti salverà!
cmq speravo di essere giudicato sulla dimostrazione....
Per evitare che ciò che è compreso fra < e > sia cancellato, spunta la casella disabilità HTML nel messaggio situata poco sotto l'area di scrittura.SARLANGA ha scritto:scusate per i segni < e $ \ge $ mancanti, ma se li inserisco mi modifica tutto il messaggio!!!
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Nel 2006 c'ero anch'io e quest'esercizio mi è rimasto in mente perchè un correttore (evito commenti..) mi ha assegnato 5/12 per non so quale motivo. Resta il fatto che prima di tutto non ti devi saltare ipotesi (alla a ci manca che le cifre siano dispari 
) dopodichè puoi trovare ben due soluzioni qui. Scusa se non leggo la tua ma son le 4 meno 20..
) dopodichè puoi trovare ben due soluzioni qui. Scusa se non leggo la tua ma son le 4 meno 20..The only goal of science is the honor of the human spirit.