SSSUP 2009 n2 Virus anti-pirati

[mrossi]

Le major discografiche, per contrastare il fenomeno del download illegale di musica, hanno messo a punto un virus che, una volta installato, controlla i file scaricati dall'utente . Ogni volta che viene scaricato un file, il virus con probabilità $ 0 < p < 1 $ lascia scaricare il file, mentre nel caso contrario, quindi con probabilità $ 1 - p $, segna un "tag".

Al terzo "tag", il computer viene formattato e non è più in grado di funzionare.

Tullio (credo...), ha il computer infetto. Si chiede:

a) Qual è la probabilità in funzione di p che riesca a scaricare esattamente [è stato detto a voce] 2 brani in esattamente 4 tentativi?
b) Qual è la probabilità in funzione di p che riesca a scaricare 2 brani?
c) Qual è la probabilità, in funzione di p e n, la probabilità che riesca a scaricare n brani?

Sto andando a memoria, quindi può darsi che abbia scritto delle cavolate o scordato qualcosa, quindi se avete dubbi chiedete pure.

[Iuppiter]

a) $ P=3\cdot (p^4-2p^3+p^2) $

Procedimento: Se scarichiamo due file in 4 tentativi, significa che due volte il virus agisce e due volte no. Perciò il virus ci lascia scaricare due volte con probabilità $ p\cdot p=p^2 $ , mentre segna due tag con probabilità $ (1-p)^2 $. A questo punto moltiplichiamo le probabilità (perchè devono accadere entrambe le cose) e otteniamo $ p^2 \cdot (1-p)^2 = p^4-2p^3+p^2 $.
Indicando con T il tag e con S l'atto di scaricare, nel tempo i fatti si possono svolgere nei seguenti modi:
TTSS
TSTS
STTS
(ricordo che il quarto tentativo deve essere sicuramente S, perchè altrimenti scaricherei due file con soli tre tentativi).
Visto che i casi sono tre, dobbiamo moltiplicare per 3 anche la probabilità.
Otteniamo così $ P=3\cdot (p^4-2p^3+p^2) $.

[Iuppiter]

b) $ P=3p^4-8p^3+6p^2 $

Procedimento: con la notazione di prima, abbiamo tre casi: SS, TSS, TTSS (ovvero possiamo scaricare due file con 2, 3 o 4 tentativi).
1° caso:SS
$ P=p^2 $
2° caso:TSS
$ P=(1-p) \cdot p^2 = p^2-p^3 $
Possiamo scaricare in due modi: TSS e STS. Quindi moltiplichiamo per 2, e otteniamo:
$ P=2p^2-2p^3 $.
3° caso:TTSS
$ P=3 \cdot (p^4-2p^3+p^2) $
Vedi punto a).

Ora possiamo sommare le tre probabilità, e otteniamo:

$ P=3p^4-8p^3+6p^2 $

[Iuppiter]

c) $ P = (p^n+p^{n+2}-2p^{n+1}) \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} + (p^n-p^{n-1}) \cdot (n+1) + p^n $

Procedimento:
1° caso: scarichiamo n file con 2 tag
$ P = p^n \cdot (1-p)^2 \cdot \binom {n+2}{2} $

2° caso: scarichiamo n file con 1 tag
$ P = p^n \cdot (1-p) \cdot \binom {n+1}{1} $

3° caso: scarichiamo n file con 0 tag
$ P = p^n $

A questo punto sommamo le tre probabilità, svolgiamo i calcoli e otteniamo il risultato.

$ P = p^n \cdot (1-p)^2 \cdot \binom {n+2}{2} + p^n \cdot (1-p) \cdot \binom {n+1}{1} + p^n = $

$ = (p^n+p^{n+2}-2p^{n+1}) \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2} + (p^n-p^{n-1}) \cdot (n+1) + p^n $