Galileiana 2004 (3)

[SARLANGA]

In una città di 235163 abitanti l'età media è di 34,3 anni. Dimostrare che qualunque sia $ \displaystyle k $ intero, con $ \displaystyle 1 \leq k<235163 $, si possono trovare $ \displaystyle k $ abitanti la cui età media è $ \displaystyle \ge 34,3 $, ed anche $ \displaystyle k $ abitanti con età media $ \displaystyle \leq 34,3 $

[Haile]

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In una città di 235163 abitanti l'età media è di 34,3 anni. Dimostrare che qualunque sia $ \displaystyle k $ intero, con $ \displaystyle 1\leq k<235163 $, si possono trovare $ \displaystyle k $ abitanti la cui età media è $ \displaystyle \geq 34,3 $, ed anche $ \displaystyle k $ abitanti con età media $ \displaystyle \leq 34,3 $

[SARLANGA]

ok grazie!
idee???

[Haile]

ok grazie!
idee???

Bah, se ho capito bene il testo:

Se tutti gli abitanti hanno 34.3 anni la tesi è verificata, perchè qualunque numero ne prendiamo la media delle età sarà pari a 34.3

Se ci sono abitanti che non hanno 34.3 anni è sufficente fare una lista ordinata dei 235163 abitanti, dal più giovane al più vecchio. Si vede chiaramente per per ogni k i primi k elementi della lista hanno media-età minore di 34.3 e che gli ultimi k elementi hanno media maggiore di 34.3

[jordan]

Senonchè è uguale a questo. In una città di $ n \in \mathbb{N}_0 $ abitanti, l'età media è $ x \in \mathbb{R}^+ $; allora per ogni intero positivo $ k<n $ esistono $ k $ abitanti la cui età media è almeno $ x $ e $ k $ abitanti la cu età media è al massimo $ x $. Detto $ e_i $ l'età media di uno degli $ \binom{n}{k} $ sottoinsiemi di k persone abbiamo che la somma delle età degli abitanti $ nx $ è pari a $ \displaystyle \left(k\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right)\binom{n-1}{k-1}^{-1} $ che è equivalente alla tesi, cioè $ \displaystyle \left({\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right) \binom{n}{k}^{-1}=x $.[]

[SARLANGA]

Detto $ e_i $ l'età media di uno degli $ \binom{n}{k} $ sottoinsiemi di k persone abbiamo che la somma delle età degli abitanti $ nx $ è pari a $ \displaystyle \left(k\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right)\binom{n-1}{k-1}^{-1} $ che è equivalente alla tesi, cioè $ \displaystyle \left({\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right) \binom{n}{k}^{-1}=x $.[]

Potresti spiegarmi bene i passaggi che ti portano ad uguagliare la tesi? E soprattutto a scrivere una conclusione "formale"?
Grazie

[jordan]

nx è la somma delle età degli abitanti.

$ \displaystyle \left(k\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right)\binom{n-1}{k-1}^{-1} $

La somma delle età degli abitanti si puo esprimere come k volte la somma delle medie di tutti i possibili sottoinsiem di k elementi, però ogni età l'hai contata esattamente (n-1 su k-1) volte.
Rigirati quell'uguaglianza come ti pare e ottieni:

$ \displaystyle \left({\sum_{i=1}^{\binom{n}{k}}{e_i}\right) \binom{n}{k}^{-1}=x $

Quella a sinistra è una media aritmetica. Ciò significa che se tutti gli e_i sono uguali allora la tesi è banale, altrimenti, visto che la media è x, esiste un elemento e_i<x e un altro strettamente maggiore, che è la tesi.

E soprattutto a scrivere una conclusione "formale"?

Era una conclusione formale.