Geometria solida/4

[lordgauss]

Sia P1 un poliedro convesso con vertici A1, A2,..., A9. Sia Pi il poliedro ottenuto da P1 con una traslazione che porta A1 in Ai. Dimostrare che almeno due dei poliedri P1,P2,..., P9 hanno un punto interno in comune.

[DD]

Dati 9 punti a coordinate intere nello spazio, dimostrare che almeno uno dei segmenti aventi due di quelli come estremi contiene un altro punto a coordinate intere

[Azarus]

dove l\'ho gia visto il secondo?
<BR>posto la soluzione o no?

[DD]

Test di ammissione alla normale inizio anni Novanta
<BR>Per ora no

[pennywis3]

Considerioamo una spazio cartesiano ed un pnto P di coordinate (x,y,z). Prendiamo il segmento PO che lo unisce all\'origine. Questo conterrà punti a coordinate intere se e solo se MCD(x,y,z)!=1 (facile da dimostrare).
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<BR>Consideriamo ora i nostri nove punti P_i(x_i,y_i,z_i) (i da 1 a 9). Considerando le coordinate modulo 2 si hanno 2^3 possibilità, quindi ci saranno due punti con coordinate-modulo2 uguali. Siano P_i e P_j questi due punti. Effettuiamo una traslazione che porti P_i nell\'origine. P\'_j adesso sarà il punto (x_j-x_i, y_j-y_i, z_j-z_i). ed ognuna delle sue coordinate varranno 0 modulo 2, quindi il loro MCD sarà diverso da 0, di conseguenza P\'_jO conterrà un punto a coordinate intere (ritraslando indietro P_iP_j conterrà un putno a coordinate intere)

[lordgauss]

Ecco, adesso che mi avete usurpato lo spazio che ne dite di guardare pure il problema originale? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Comunque grazie DD, hai evitato l\'affossamento del topic.

[sprmnt21]

Congettura: il risultato vale per spazi (euclidei?) ad n dimensioni. I vertici (ad n coordinate) del n-solido sono 2^n+1.
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<BR>Io provo a dare qualche spunto per il caso piano, n=2.
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<BR>In questo caso abbiamo un poligono convesso di vertici V1,V2,V3,V4 e V5.
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<BR>Consideriamo il triangolo V1V2V3, in modo tale che l\'anvolo < V2V1V3 sia il piu\' piccolo fra quelli di vertice V1, cioe\' i raggi V1Vr per r>3 sono esterne al triangolo V1V2V3. Trasliamolo del vettore (V2-V1) e siano V12=V2, V22 e V32 i nuovi vertici. Per comodita\' indichiamo con V11, V21,V31 i vertici del triangolo V1V2V3. Si noti che V11,V12,V31,V32 e\' un parallelogramma, cosi come lo e\' V12,V22,V31,V32. Trasliamo ora il triangolo V1V2V3 del vettore (V3-V1) indichiamo con V13, V23 e V33 i nuovi vertici.
<BR>Si vede facilmente (ma e\' troppo laborioso descriverlo) che se il vertice V4 sta sul quarto vertice del parallelogramma di lati V1V2 e V2V3, la traslazione del quadrilatero V1V2V3V4 del vettore (V4-V1) va a riempire esattamente il quadrante lasciato libero dalle precedenti traslazioni. Se V4, invece e\' diverso dal quarto vertice del del parallelogramma di lati V1V2 e V2V3 allora si ha una sovrappozione.
<BR>Pertanto una traslazione di un quinti diverso vettore, produce la sovrapposizione.
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<BR>Nel caso del testo originale, sono i parallelepipedi a giocare il ruolo dei parallegrammi.
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<BR>Spero che almeno l\'idea sia chiara
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[pennywis3]

L\'idea a cui avevo pensato io è simile (se non uguale). Avevo notato che nel piano il teorema vale se il poligono ha almeno due angoli la cui somma è maggiore di un agolo piatto, in questo caso infatto la traslazione che porta il vertice del primo angolo nel vertice del secondo, lascia poligono iniziale e finale sovrapposti. Il teorema vale quindi sempre per ogni poligono con almeno 5 lati. Avevo pensato di dimostrare che un poliedro con nove vertici deve avere almeno una faccia pentagonale, ma questo è falso, e quindi mi sarei accontentato di dimostrare che deve possedere almeno una quaterna di vertici complanari (uniti tra loro) che formino con il lato di mezzo due angoli di somma maggiore di 180 (lo so che non si capisce, ma sono di fretta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 07-03-2003 14:59 ]