Galileiana 2009 (4)

[SARLANGA]

Sia $ \displaystyle p(x)=a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 $ un polinomio di quarto grado tale che per ogni $ \displaystyle n $ naturale vale la relazione $ \displaystyle 1^3+2^3+...+n^3=p(n) $. Qual è $ \displaystyle p(x) $?

P.S.: Non bastava appiccicarci la formula e via!

[Maioc92]

in che senso non bastava la formula?
Se serve una dimostrazione è facile lo stesso....anche perchè conoscendola si dimostra facilmente per induzione

[dario2994]

Se ho capito di che formula parlate.... beh si che basta.... basta applicarla e poi usare l'identità tra polinomi :|

p.s. la formula di cui parlo è quella della somma di cubi

[Agi_90]

Non solo il problema è stra noto, ma pure la dimostrazione... farlo con induzione è è è... da fisici

[stefanos]

è è è... da fisici

Allora bonus question: dimostrare nel maggior numero di modi possibile la formula per la somma dei primi n cubi.

[danielf]

come si fa il problema?

[pak-man]

come si fa il problema?

$ p(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^xi^3 $ per $ ~x\in\mathbb{N} $.
Dunque $ p(x)=\left(\dfrac{x(x+1)}{2}\right)^2=\dfrac{x^2(x+1)^2}{4}=\dfrac{x^4+2x^3+x^2}{4} $

[Fedecart]

Esatto... Poi volendo si dimostrava la formula della somma dei cubi... Credo (spero) che l'induzione andasse bene...

[mrossi]

Vedi che p(n) è la somma dei cubi di tutti i numeri naturali da 1 a n.

Se conosci la formula per la somma dei primi n cubi:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $

la dimostri facilmente per induzione

passo base: per n = 1 la formula funziona:

$ \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac {1\cdot 2^2}{4}= 1 $

passo induttivo: dimostri che se vale per n, allora vale per n + 1, ovvero che

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 $, cioè
$ \displaystyle \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 + (n+1)^3 $

che si verifica facilmente essere vera.

Ovviamente se affrontando questo problema non conosci questa formula devi prima ricavartela e poi cercare di dimostrarla.
Ad esempio un modo spannometrico per ricavarla è vedere che si ha
$ 1+2^3=9=3\cdot3 $
$ 1+2^3+3^3=36=9\cdot4 $

Dalla prima puoi supporre che la regola sia $ \sum i^3 = (n+1)^2 $, ma vedi che non va bene nella seconda. Allora provi a moltiplicare per un fattore $ x $ in modo che $ \sum i^3 = x(n+1)^2 $

che deve essere 1 nel primo caso e $ 9/4 $ nel secondo, quindi $ x=\frac {n^2}{4} $. Dopo aver verificato che vale per n = 3 puoi passare alla dimostrazione per induzione.

[pak-man]

Ovviamente se affrontando questo problema non conosci questa formula devi prima ricavartela e poi cercare di dimostrarla.

Si può ricavare anche così:

$ $(n+1)^4=\sum_{i=0}^n\left[(i+1)^4-i^4\right]=\sum_{i=0}^n\left[4i^3+6i^2+4i+1\right]= $$ $4\sum_{i=0}^ni^3+6\sum_{i=0}^ni^2+4\sum_{i=0}^ni+\sum_{i=0}^n1=4\sum_{i=0}^ni^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n+1=4\sum_{i=0}^ni^3+2n^3+5n^2+4n+1 $

$ $n^4+4n^3+6n^2+4n+1=4\sum_{i=0}^ni^3+2n^3+5n^2+4n+1 $
$ $n^4+2n^3+n^2=4\sum_{i=0}^ni^3 $
$ $\sum_{i=0}^ni^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} $

[Noemi91x]

somme telescopiche!