Galileiana 2009 (8)

[SARLANGA]

Una fabbrica produce lattine di forma cilindrica di raggio $ \displaystyle r $ e altezza $ \displaystyle h $. Un robot impazzito, anzichè disporre le lattine verticalmente, le mette con una inclinazione casuale. Alla fine si scopre che almeno $ \displaystyle 2/3 $ delle lattine si sono raddrizzate. Quanto deve essere almeno il rapporto $ \displaystyle r/h $?

[SARLANGA]

Questo non mi è sembrato orribile...
Io mi sono accorto solo in fondo di aver trascurato del tutto la forma cilindrica, perchè ho studiato solo la rappresentazione verticale della lattina (in pratica un parallelepipedo o un cilindro si comportano nello stesso modo). E' giusto?
Poi la condizione perchè non cada è sulla diagonale di una sezione verticale del cilindro. Premetto che analizzo solo la metà dei casi (gli altri sono simmetrici Finchè non forma un angolo di 90° col piano, la lattina non cade e si raddrizza. Dire che 2/3 si raddrizzano vuol dire che l'angolo di inclinazione può essere al massimo 60°. Al caso limite $ \displaystyle 2r=h \sqrt 3 /2 $ quindi il rapporto deve essere almeno $ \displaystyle \sqrt 3 /2 $.

[Iuppiter]

Ma scusa, se la probabilità che si raddrizzi è $ \frac{2}{3} $, allora l'angolo non dovrebbe essere di $ 30° $?

Così, se $ \alpha = 30° $ allora $ \frac{r}{h}=\sqrt{3} $

[SARLANGA]

Secondo me è 60°, perchè tra 0° e 60° va bene mentre da 60° a 90° cade. Così abbiamo proprio 2/3 dei casi in cui si raddrizza...prova a spiegare il tuo ragionamento per 30°, magari è giusto il tuo risultato

[Iuppiter]

Mi sono accorto che ho fatto un'errore, ho confuso il diametro con il raggio. Quindi il rapporto deve essere almeno $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ come hai detto tu. Però l'angolo sono convinto che sia di 30°.

Forse stiamo parlando di angoli diversi? Che angolo intendi tu? Io parlavo di quello che il punto più in basso a destra della lattina forma con il suolo.

Ti allego il disegno