Meglio che ti sia servito... magari mi regala un punticino xD
Comunque sfrutto questo post per complimentarmi con Jordan... davvero una bella lista :)
Spero che anche nella seconda lista ci sia un solo problema di geometria... altrimenti io faccio nulla xD
p|sigma(p-1), problema 1
e comunque uno a mio parere è anche troppo 
(Ok, adesso Gabriel mi manderà a quel paese 
)
ecco la mia soluzione:
Siano $ q_i $ i primi che dividono p-1 e $ m_i $ i loro esponenti, cioè sia $ \displaystyle p-1=\prod q_i^{m_i} $.
Allora $ $\sigma (p-1)=(q_1^{m_1}+q_1^{m_1-1}...+q_1+1)(q_2^{m_2}+q_2^{m_2-1}...+q_2+1)...$ $
p deve dividere uno di questi fattori. Supponiamo WLOG che divida il primo, cioè
$ $q_1^{m_1}+q_1^{m_1-1}...+q_1+1\equiv 0\pmod p $ $.
Osserviamo che non può essere $ $q_1\equiv 1\pmod p $ $ perchè 1<q_1<p, per cui possiamo moltiplicare tranquillamente per q_1-1 e ottenere
$ $q_1^{m_1+1}\equiv 1\pmod p $ $.
Sappiamo però che $ $\displaystyle q_1^{m_1}=\frac{p-1}{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}} $ $.
Sostituendo nella congruenza precedente abbiamo che $ \prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}\equiv -q_1\equiv p-q_1\pmod p $(ovviamente $ 1< }{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}<p $).
Sia LHS che RHS sono compresi tra 0 e p pertanto se hanno la stessa classe di resto modulo p deve essere $ $}{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}=p-q_1 $ $.
A questo punto termino esattamente come ha fatto kn, cioè escludendo che sia $ m_1>1 $, quindi $ m_1=1 $ e da qui si conclude facilmente che p-1 deve essere primo e quindi p=3.
Siano $ q_i $ i primi che dividono p-1 e $ m_i $ i loro esponenti, cioè sia $ \displaystyle p-1=\prod q_i^{m_i} $.
Allora $ $\sigma (p-1)=(q_1^{m_1}+q_1^{m_1-1}...+q_1+1)(q_2^{m_2}+q_2^{m_2-1}...+q_2+1)...$ $
p deve dividere uno di questi fattori. Supponiamo WLOG che divida il primo, cioè
$ $q_1^{m_1}+q_1^{m_1-1}...+q_1+1\equiv 0\pmod p $ $.
Osserviamo che non può essere $ $q_1\equiv 1\pmod p $ $ perchè 1<q_1<p, per cui possiamo moltiplicare tranquillamente per q_1-1 e ottenere
$ $q_1^{m_1+1}\equiv 1\pmod p $ $.
Sappiamo però che $ $\displaystyle q_1^{m_1}=\frac{p-1}{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}} $ $.
Sostituendo nella congruenza precedente abbiamo che $ \prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}\equiv -q_1\equiv p-q_1\pmod p $(ovviamente $ 1< }{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}<p $).
Sia LHS che RHS sono compresi tra 0 e p pertanto se hanno la stessa classe di resto modulo p deve essere $ $}{\prod_{i\ne 1}q_i^{m_i}=p-q_1 $ $.
A questo punto termino esattamente come ha fatto kn, cioè escludendo che sia $ m_1>1 $, quindi $ m_1=1 $ e da qui si conclude facilmente che p-1 deve essere primo e quindi p=3.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
