La particella(non troppo difficile)

[Reginald]

Allora, c'è una particella a che è all'interno di una stanza, ha quindi anche una parete a destra ed una a sinistra. La particella si muove verso la parete di destra e una volta toccata questa, con probabilità 1/2 rimane catturata dalla parete, altrimenti rimbalza varso la parete di sinistra. Una volta toccata la parete di sinistra si comporta come quando ha toccato quella di destra: con p=1/2 rimbalza, altrimenti resta catturata. Se rimbalza tutto ricomincia dall'inizio: tocca quella destra e resta catturata con p=1/2, ed avanti così.

Alla fine con che probabilità la particella resterà catturata dalla parete di destra?

Da lasciare a quelli alle prime armi direi.....

EDIT: forse andava in matematica ricreativa??

[fph]

EDIT: forse andava in matematica ricreativa??

Va benissimo qui direi

[karlosson_sul_tetto]

Allora, c'è una particella a che è all'interno di una stanza, ha quindi anche una parete a destra ed una a sinistra. La particella si muove verso la parete di destra e una volta toccata questa, con probabilità 1/2 rimane catturata dalla parete, altrimenti rimbalza varso la parete di sinistra. Una volta toccata la parete di sinistra si comporta come quando ha toccato quella di destra: con p=1/2 rimbalza, altrimenti resta catturata. Se rimbalza tutto ricomincia dall'inizio: tocca quella destra e resta catturata con p=1/2, ed avanti così.

Alla fine con che probabilità la particella resterà catturata dalla parete di destra?

Da lasciare a quelli alle prime armi direi.....

EDIT: forse andava in matematica ricreativa??

Scusa,ma cosa intendi con "alla fine"?C'è sempre una probabilita non nulla che la particella vaghi cosi all'infinito...

[Reginald]

Scusa,ma cosa intendi con "alla fine"?C'è sempre una probabilita non nulla che la particella vaghi cosi all'infinito...

Si, è vero...scusa...Riformulo la domanda: con che probabilità la particella è catturata dalla parete di destra?

[karlosson_sul_tetto]

Cioè completare la succesione:1/2 - 1/8...?Oppure con che probabilita la particella sara catturata alla N-essima volta?

[FrancescoVeneziano]

C'è sempre una probabilita non nulla che la particella vaghi cosi all'infinito...

Veramente la probabilità che la particella vaghi all'infinito è nulla.
Rendere le cose precise quando c'è di mezzo la probabilità è sempre antipatico, ma in questo caso mi sembra abbastanza facile convincersi che quella probabiltà non può che essere 0.

[Maioc92]

qua non si può fare a meno di usare un limite...comunque finchè è di questo tipo credo sia anche abbastanza intuitivo, quindi non è un grosso problema

[karlosson_sul_tetto]

C'è sempre una probabilita non nulla che la particella vaghi cosi all'infinito...

Veramente la probabilità che la particella vaghi all'infinito è nulla.
Rendere le cose precise quando c'è di mezzo la probabilità è sempre antipatico, ma in questo caso mi sembra abbastanza facile convincersi che quella probabiltà non può che essere 0.

Perche?Abbiamo 1/2 di probabilita per il 1° caso,1/2 di 1/2 per il secondo,1/2 di 1/2 di 1/2 e cosi fino all'infinito...Dov'è l'errore?

[Haile]

cosi fino all'infinito...

La probabilità che venga catturata l'n-esima volta è pari a $ $1/2^n$ $, e per n che tende ad "infinito" la probabilità tende a zero

[Reginald]

qua non si può fare a meno di usare un limite

..Io lo avevo dimostrato anche in un altro modo, senza dover ricorrere al limite, se vuoi ti mando la dimostrazione per messaggio privato per non farla leggere a tutti in modo da non rovinare l'esercizio
@karlosson_sul_tetto: penso che FrancescoVeneziano intendesse dire che, essendo la possibilità che non venga catturata dopo n rimbalzi $ (1/2)^n $, più è grande n più è piccola questa probabilità, tanto che con n infinito può considerarsi 0

EDIT:preceduto da Haile...

[karlosson_sul_tetto]

Vero,tende a zero,ma non è zero!Come la curva(anche se non sono sicuro che sia questa qua): x^x.

[Haile]

Vero,tende a zero,ma non è zero!Come la curva(anche se non sono sicuro che sia questa qua):x^x.

Hem

Considerato che (come tu stesso spesso ricordi) sei in prima media, e considerato il livello delle conoscenze matematiche di FrancescoVeneziano (che immagino essere non esattamente scarso) e comunque anche degli altri frequentatori di questo forum, forse è meglio se ti fidi di chi ti dice che, se la particella va avanti a rimbalzare all'infinito, allora prima o poi resterà attaccata ad una parete...

[EvaristeG]

Allora: ci sono due eventi diversi in ballo.
1) La particella va avanti all'infinito.
2) La particella va avanti almeno n passi.

Diciamo che ci sia probabillità $ k $ che si verifichi il primo evento (quindi $ 0\leq k\leq 1 $) e probabilità $ h_n $ che si verifichi il secondo (ovviamente dipende anche da n, a priori).

Sarete tutti d'accordo che $ k\leq h_n $ (ovvero che, se la particella va avanti all'infinito, sicuramente va anche avanti fino al passo n.esimo, per ogni n).

Ora, come osservato $ h_n=1/2^n $, quindi abbiamo che
$ k\leq 1/2^n $ per ogni n, ma allora k deve essere 0 (dimostrarlo non dovrebbe essere difficile, no?).

L'affermazione iniziale di karlosson riguardava la probabilità dell'evento 1 ed era errata: l'evento 1 ha probabilità 0. Evidentemente il nostro micione si è confuso con l'affermare invece che per ogni n l'evento 2 ha probabilità diversa da 0.

Un esempio più intuitivo: posso dividere un segmento in n segmenti uguali per ogni n e tutti di lunghezza positiva e non nulla, ma questo non vuol dire che io possa dividere un segmento in infiniti segmenti tutti uguali e di lunghezza non nulla.

Capita la differenza?

[Maioc92]

qua non si può fare a meno di usare un limite

..Io lo avevo dimostrato anche in un altro modo, senza dover ricorrere al limite

ok sono curioso perchè, per come è posto il problema,io non vedo altro modo...se riesci mandamela pure

[karlosson_sul_tetto]

Me lo sono fatto spiegare,se non erro la risposta è:

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