Dimostrare che
$ \frac{7}{7+7^{\frac{2}{15}}}+\frac{7}{7+7^{\frac{4}{15}}}+.......+\frac{7}{7+7^{\frac{28}{15}}}=7 $
Generalizzare la formula a :
$ \frac{k}{k+k^{\frac{2}{n}}}+\frac{k}{k+k^{\frac{4}{n}}}+.......+\frac{k}{k+k^{\frac{2n-2}{n}}}=? $
dove k e n sono numeri interi positivi con n dispari >=3
iuss1
....ti mettono il 7 nell'esempio numerico per sviartinel senso che uno di primo impatto si aspetta che la generalizzazione dia come risultato k, mentre in realtà non è cosi....comunque non voglio "bruciare" subito un problema alla portata di tutti quindi sto zitto. Però non voglio nemmeno che venga abbandonato,quindi se domani sera quando torno a casa nessun altro ha risposto posto la mia soluzione, ok? 
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
va bene, visto che nessun altro ha risposto allora rispondo io:
Consideriamo la somma di 2 termini alla volta, ovvero di $ \displaystyle\frac k {k+k^{\frac m n}}+\frac k {k+k^{\frac{2n-m} n}} $ con m pari <n.
Svolgendo 2 calcoli è semplice verificare che questa somma è 1.
Quindi la somma totale sarà uguale al numero di coppie di termini di questo tipo. Poichè i termini totali sono $ \displaystyle\frac{2n-2} 2=n-1 $, il numero di coppie sarà $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $, per cui la somma sarà uguale a $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $. Ovviamente applicando ciò al punto 1 troviamo che la somma è 7, quindi abbiamo finito.
Consideriamo la somma di 2 termini alla volta, ovvero di $ \displaystyle\frac k {k+k^{\frac m n}}+\frac k {k+k^{\frac{2n-m} n}} $ con m pari <n.
Svolgendo 2 calcoli è semplice verificare che questa somma è 1.
Quindi la somma totale sarà uguale al numero di coppie di termini di questo tipo. Poichè i termini totali sono $ \displaystyle\frac{2n-2} 2=n-1 $, il numero di coppie sarà $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $, per cui la somma sarà uguale a $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $. Ovviamente applicando ciò al punto 1 troviamo che la somma è 7, quindi abbiamo finito.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Maioc92 ha scritto:va bene, visto che nessun altro ha risposto allora rispondo io:
Consideriamo la somma di 2 termini alla volta, ovvero di $ \displaystyle\frac k {k+k^{\frac m n}}+\frac k {k+k^{\frac{2n-m} n}} $ con m pari <n.
Svolgendo 2 calcoli è semplice verificare che questa somma è 1.
Quindi la somma totale sarà uguale al numero di coppie di termini di questo tipo. Poichè i termini totali sono $ \displaystyle\frac{2n-2} 2=n-1 $, il numero di coppie sarà $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $, per cui la somma sarà uguale a $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $. Ovviamente applicando ciò al punto 1 troviamo che la somma è 7, quindi abbiamo finito.
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