Numero irrazionale

[SARLANGA]

Siano $ \displaystyle a=13,34685793 $ e $ \displaystyle b=13,34685794 $; trovare x razionale e y irrazionale tali che risulti $ \displaystyle a<x<b $, $ \displaystyle a<y<b $.
($ \displaystyle x $ è banale, basta prendere il valore medio, giusto? Buon lavoro con la $ \displaystyle y $)

Bonus question: Dimostrare che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ e $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $ sono numeri irrazionali.

EDIT: Dimostrare che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ è irrazionale e che $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $ è invece razionale.

[julio14]

Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

[SARLANGA]

Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

grazie julio14, non me ne ero accorto. Ovviamente si deve dimostrare che la seconda, cioè $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $, è razionale.
A parte l'errore del testo, non lo snobbate tanto, voglio vedervi alla prova su queste cose facili, in modo che io possa apprendere più facilmente un passo alla volta (l'importante è che siate il più possibile chiari, formali ed esplicativi).
Grazie

[Maioc92]

fondamentalmente si usa la stessa idea alla base della dimostrazione che gli irrazionali sono densi nei reali. Basta prendere un irazionale qualsiasi (ad esempio $ \sqrt 2 $) e prendere $ n\in\mathbb N $ tale che $ \frac{\sqrt 2} n<b-a $(non dovrebbe essere troppo difficile con una calcolatrice ma si può benissimo fare anche a mano). A questo punto un simpatico fatto non troppo difficile da dimostrare dice che esiste $ m\in\mathbb N $ tale che $ a<m\frac{\sqrt 2} n<b $. Inoltre m è la parte intera di $ \frac {an} {\sqrt 2}+1 $, e quindi si trova abbastanza facilmente. Ovviamente puoi fare la stessa cosa con qualsiasi irrazionale, ho preso $ \sqrt 2 $ solo come esempio

EDIT: facile dipende dai punti di vista, perchè se uno non conosce queste cose il problema diventa difficilotto, o sbaglio??

Ho corretto una cosa, che avevo sbagliato a scrivere per distrazione. Scusa sarlanga

[Maioc92]

Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

grazie julio14, non me ne ero accorto. Ovviamente si deve dimostrare che la seconda, cioè radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $, è razionale.

$ 13|77! $, quindi.....

[SARLANGA]

EDIT: facile dipende dai punti di vista, perchè se uno non conosce queste cose il problema diventa difficilotto, o sbaglio??

Esatto, dopotutto uno non nasce con la scienza infusa! Mi piacerebbe solo che chi è più esperto fosse esaustivo nelle spiegazioni (e ringrazio tutti quelli che lo sono).

Inoltre m è la parte intera di $ \frac a {\sqrt 2}+1 $, e quindi si trova abbastanza facilmente.

Perchè $ \displaystyle m $ equivale alla parte intera di $ \frac a {\sqrt 2}+1 $
Accettato questo, si ottiene che $ \displaystyle \sqrt 2 $ moltiplicato per un numero razionale $ \displaystyle m/n $ sia compreso tra $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $ (che non hai definito, ma immagino siano reali) e allo stesso tempo che lo stesso numero $ \displaystyle m \sqrt 2 /n $ è minore di $ \displaystyle m(b-a) $. Ok, ma questo a cosa porta? Qual è il fine del tuo ragionamento? Per caso è dimostrare che $ \displaystyle \sqrt 2 $ sta nei reali? Se è così, chi mi dice che non è razionale?
Grazie di nuovo per la pazienza

[julio14]

@Maioc92: Beh, dire difficilotto mi sembra esagerato... non serviva fare tutti quei giri, basta prendere $ $a+\pi^{-100} $

[Maioc92]

ok, rispondo a tutto:
1)a e b li hai definiti tu, sono nel testo dell'esercizio
2)per maggior chiarezza,senza stare a dimostrarlo, spiego intuitivamente da cosa si ricava il lemma che ho usato: immagina la retta reale, l'intervallo $ [a,b] $ e l'intervallo $ [0,\frac {\sqrt2} n] $. Ora, il secondo intervallo è più piccolo del primo per come abbiamo definito n. A questo punto consideriamo i multipli interi del secondo intervallo: non facciamo altro che sommarlo con se stesso più volte. Però abbiamo detto che il primo intervallo è più ampio, quindi almeno un multiplo del secondo deve "cascarci" dentro, perchè non può saltarlo.
3)Ho corretto il fatto della parte intera, scusa per l'errore precedente. Comunque detto m l'intero positivo per cui $ a<m\frac {\sqrt2} n<b $, si che $ \displaystyle m=[\frac{a}{\frac{\sqrt 2} n}]+1=[\frac{an}{\sqrt 2}]+1=[\frac{an}{\sqrt 2}+1] $ ([] è la parte intera). Questo deriva direttamente dalla dimostrazione del lemma, che posterò al più presto per intero se ti interessa, altrimenti credo che tu la possa trovare tranquillamente su internet.
4)$ \frac m n \sqrt2 $ è irrazionale perchè è multiplo razionale di un irrazionale.
@julio14:boh in effetti si......
vabbè almeno ho postato un fatto a mio parere interessante, che dopotutto val la pena di sapere. Non mi era venuto in mente il tuo modo (che è moooolto meglio)

[SARLANGA]

perfetto, Maioc92, sei stato chiaro...credo di aver capito ora tutto quello che hai scritto. Mi rimane un'ultima domanda: abbiamo dimostrato che deve esistere un numero irrazionale nell'intervallo $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $, ma qual è ora il procedimento per trovare quale esatto numero $ \displaystyle y $ sta in quell'intervallo?

EDIT: Ci sarebbe poi ancora un'altra questione che non mi è chiara, cioè la dimostrazione che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ è irrazionale...

[SARLANGA]

@Maioc92: Beh, dire difficilotto mi sembra esagerato... non serviva fare tutti quei giri, basta prendere $ $a+\pi^{-100} $

Caro julio14, siccome non ho afferrato al volo la tua idea, potresti illustrarla? Mi interesserebbe moltissimo vedere il tuo procedimento.

[SkZ]

banalmente, dati $ ~a,b\in\mathbb{R}^+ $ e definita una media, essa e' compresa tra essi per definizione.
http://mathworld.wolfram.com/Mean.html

$ ~10^8b=10^8a+1\in\mathbb{N} $, ergo $ ~\sqrt{ab} $ e' irrazionale e compreso tra essi.

Cmq, e' molto banale trovare un irrazionale tra 2 numeri dati. Piu' complicato cercare una formula generale

[SARLANGA]

ah...è vero. Ok, e per quanto riguarda la dimostrazione dell'irrazionalità di $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $? Poi, il metodo di julio14 sull'uso di $ \displaystyle a+ \pi ^{-100} $?
Grazie

[SkZ]

julio ha cercato un irrazionale $ ~<b-a $ e la somma di un razionale piu' un irrazionale e' un irrazionale

la dimostrazione di $ $\sqrt[3]3 $ penso sia affine a quella di $ ~\sqrt{2} $

[Il_Russo]

In realtà non è così immediato che $ $ \pi^{-100} $ sia irrazionale. Lo è se si sa che $ $ \pi $ è trascendente, ma in ogni caso io avrei preferito $ $ \frac{\sqrt{2}}{10^{-n}} $, con n grande a piacere.

Il fatto di poter trovare irrazionali e razionali piccoli a piacere dovrebbe risolvere il problema posto da SkZ di trovare irrazionali compresi tra due numeri qualunque $ a < b $. In particolare sia $ $ k=\left\lfloor \log_2{(b-a)} \right\rfloor $ e sia $ $ h=\left\lfloor \frac{a}{2^{k-1}} \right\rfloor $, allora $ $ \left( h+1 \right) 2^{k-1} $ è un razionale compreso tra a e b, mentre $ $ \left( h+\sqrt{2} \right) 2^{k-1} $ è un irrazionale compreso tra gli stessi numeri.

EDIT: Formula poco chiara

[SARLANGA]

In particolare sia $ $ k=\left\lfloor \log_2{b-a} \right\rfloor $ e sia $ $ h=\left\lfloor \frac{a}{2^{k-1}} \right\rfloor $, allora $ $ \left( h+1 \right) 2^{k-1} $ è un razionale compreso tra a e b, mentre $ $ \left( h+\sqrt{2} \right) 2^{k-1} $ è un irrazionale compreso tra gli stessi numeri.

Sarò davvero duro, ma come mai $ \displaystyle k $ e $ \displaystyle h $ devono essere proprio quelli?
Come ci sei arrivato