Voglio dimostrare il teorema delle funzioni implicite per un polinomio: $ P(z,w) \in \mathbb{C}[z,w] $ tale che $ P(z_0,w_0) = 0 \ne \frac{\partial P}{\partial w} (z_0,w_0) $, allora esiste una funzione olomorfa $ f : U \to V $ dove U è un intorno aperto di z_0 in C e V intorno aperto di w_0 in C, tale che:
- $ f(z_0)=w_0 $
- $ \forall z \in U, \forall w \in V , f(z) = w \Rightarrow P(z,w)=0 $.
quello a cui riesco ad arrivare con un pò di lavoro è questo:
Se $ \gamma $ è la parametrizzazione standard del bordo di un opportuno disco di raggio $ \varepsilon $ centrato in w_0, riesco a definire tramite l'integrale logaritmico una funzione $ n=n(z) = \frac{1}{2 \pi i } \int_{\gamma} \frac{ \frac{\partial P(z,w)}{\partial w}}{P(z,w)}\,dw $.
Primo problema: perchè n è continua? non riesco a dimostrarlo.
Assumendo n come una finzione continua, riesco a dimostrare che è costante, uguale a 1, per come ho scelto $ \varepsilon $.
E poi, come costruisco f olomorfa?
Ringrazio chiunque riesca a darmi una mano...
