Radici di interi

[SARLANGA]

Dimostrare che la radice quadrata di un numero intero è intera o irrazionale.

P.S.: Come sempre, data la "relativa facilità" dell'esercizio vi chiederei di essere formali e precisi.

[spugna]

Sia $ n $ il numero di cui si considera la radice quadrata.
E' chiaro che se $ n $ è un quadrato perfetto si ha $ \sqrt{n} \in \mathbb{N} $.
Supponiamo ora che $ n $ NON sia un quadrato perfetto e poniamo per assurdo $ \sqrt{n} \in \mathbb{Q} $. Questa affermazione è vera se e solo se esistono due naturali $ a $ e $ b $ tali che $ \sqrt{n}=\dfrac{a}{b} $. Elevando al quadrato entrambi i membri di questa equazione si ottiene $ n=\dfrac{a^2}{b^2} $, da cui $ a^2=n \cdot b^2 $.
E' noto che se un numero naturale è un quadrato perfetto,allora tutti i numeri primi compaiono nella sua fattorizzazione con un esponente pari (quindi anche $ 0 $);se non lo è,allora esiste almeno un primo $ p $ che compare nella sua fattorizzazione con un esponente dispari. Da queste osservazioni deduciamo che $ p $ compare nel primo membro dell'equazione con un esponente pari e nel secondo con un esponente dispari,quindi con due esponenti sicuramente diversi. Ma la fattorizzazione di un numero naturale è unica,quindi l'equazione non ha soluzioni intere. Da qui l'assurdità dell'enunciato $ \sqrt{n} \in \mathbb{Q} $.

[SkZ]

in questi casi sempre porre che
$ $x\in\mathbb{Q}\quad\Rightarrow\quad \exists a,b\in \mathbb{Z}, (a,b)=1: x=\frac{a}{b} $