Dimostrazione di disequazione

[karlosson_sul_tetto]

Dimostrate che per ogni $ n>1 $ naturale:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} <\frac{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*2n} <\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} $

[SkZ]

anche detto
$ $\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{2n}}< \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}< \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{2n}} $

[Maioc92]

mmm veramente carino come esercizio...il bound superiore mi ha tenuto occupato per un po'
1) Dimostro il bound superiore:
Faccio qualche passaggio algebrico e riscrivo la disuguaglianza come:
$ \displaystyle 4n\frac{(2n-1)!!}{2n!!}<\sqrt{6n} $
Semplifico l'LHS ed elevo al quadrato, ottenendo (scrivo per intero per maggior chiarezza)
$ \displaystyle\frac{9*25*49....*(2n-1)^2}{16*36*64....*(2n-2)^2}<6n $
A questo punto tenendo presente l'identità $ (n+1)(n-1)=n^2-1 $ posso vedere la disuguaglianza precedente in questo modo:
$ \displaystyle 3*\frac{15}{16}*\frac{35}{36}....*\frac{(2n-2)^2-1}{(2n-2)^2}*(2n-1)<6n $
A questo punto pongo $ \displaystyle \frac{15}{16}*\frac{35}{36}....*\frac{(2n-2)^2-1}{(2n-2)^2}=X $.
La tesi diventa quindi $ \displaystyle 3(2n-1)X<6n $, ovvero $ \displaystyle X<\frac{2n}{2n-1} $
Però sappiamo che $ \displaystyle X<1 $, quindi $ \displaystyle X<1<\frac{2n}{2n-1} $ e abbiamo concluso.

2)Dimostro il bound inferiore per induzione:
per n=2 è banalmente vero.
Supponiamolo vero per n e dimostriamolo per n+1:
$ \displaystyle\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}>\frac 1 {2\sqrt {n+1}} $
Applico l'ipotesi induttiva e ho che
$ \displaystyle LHS>\frac 1 {2\sqrt n}\frac {(2n+1)}{(2n+2)} $
Devo quindi dimostrare che $ \displaystyle \frac 1 {2\sqrt n}\frac {(2n+1)}{(2n+2)}>\frac 1 {2\sqrt {n+1}} $.
Elevo al quadrato e con qualche semplice passaggio la precedente diventa
$ n+1>0 $, che è ovviamente sempre vero perchè $ n>1 $.

Spero vada bene

[karlosson_sul_tetto]

Spero vada bene

Io credo che vada bene perché non capisco più niente e se arrivi a $ N+1>0 $ ti credo che hai ragione e quindi incarico gli altri per individuare gli errori.

Via con gli altri esercizi (che nessuno risolve ) in altri post!