Geometria delle superfici proiettive (..?)

[DarkSepiroth]

Ciao a tutti, vorrei chiedere a qualcuno che abbia più esperienza del sottoscritto consigli su quali libri consultare per avere una vaga idea della geometria abbastanza elementare delle superfici in $ \mathbb{P}^3 $ : tipo, quali e quante sono le tangenti alla superficie che possono essere condotte da un punto esterno ad essa e company...

[karlosson_sul_tetto]

C'è la sezione "Cultura matematica e scientifica" per questo.Cmq non so.

[Nonno Bassotto]

Per risponderti dovrei un po' sapere quel e' il tuo livello. Sei uno studente di matematica? Hai visto qualche corso di base di geometria algebrica?

[DarkSepiroth]

Si si, certo...sono uno studente di matematica a Pisa, quarto anno..
Ho conoscenze di geometria algebrica 'di base', che però non tocca troppo la parte delle superfici, insomma ho sostenuto elementi di geometria algebrica. Insomma arrivo a dire che la generica superficie di P^3 contiene 27 rette.

[Nonno Bassotto]

Ok, conosco il corso La teoria delle superfici è un po' complicata da fare a questo livello. La trattazione più semplice è probabilmente quella di Beauville, che però richiede teoria dei fasci. Altrimenti le superfici vengono trattate anche nel Griffiths-Harris e nell'Hartshorne, ma presuppongono che tu ti sia letto grosso modo tutto il resto del libro.

Un po' di teoria delle superfici dovrebbe stare sullo Shafarevic, e dovrebbe essere il riferimento più accessibile.

Altrimenti è un po' vecchiotto ma a qualcuno piace Enriques - Le superficie razionali. Io non l'ho mai letto, per cui non so dirti come sia. Non dovrebbe usare strumenti avanzati semplicemente perché ai tempi di Enriques non c'erano.

Comunque per risolvere il tuo problema basta proiettare dal punto su P^2 e studiare la curva di ramificazione. Ciao

[DarkSepiroth]

Si, infatti è per dimostrare certi lemmi che secondo me sono preliminari per le osservazioni sulla curva di diramazione che si passa attraverso la teoria delle superfici, comunque guarderò! Grazie dei riferimenti!

[Nonno Bassotto]

Non serve niente di specifico sulle superfici. Basta sapere cosa e' il canonico di una varieta' e conoscere il teorema di aggiunzione. Una volta che ho tempo, ti posto qualcosa di piu' preciso. Ma tu cosa vuoi sapere su questa curva delle tangenti?
Ciao

[DarkSepiroth]

Sto leggendo un articolo di Segre, 'Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali' (1930), in cui, ad esempio, si dice che se S è una superficie liscia di ordine d, la sua curva di ramificazione ha grado d(d-1) [e fin qui ok], dopodichè si dice che dal centro di proiezione si possono condurre d (d-1) (d-2 ) tangenti che toccano la curva di diramazione [primo dubbio:come dimostro questo?], e così molti altri risultati del tipo: dal centro di proiezione si possono condurre 1/2 d (d-1)(d-2)(d-3) rette che toccano la curva di ramificazione in esattamente due punti distinti...ecc ecc, pensavo che ci fosse dietro una qualche trattazione specifica sulla geometria delle superfici di P^3, da cui uscissero tutti questi numeri, ma forse non è così ?

[Nonno Bassotto]

Inizio a scriverti qualcosa, continuo quando ho meno sonno. Tu nel frattempo fermami se dico paroloni che non conosci.

Dunque, S è una superficie in $ \mathbb{P}^3 $ di grado d, p un punto esterno generico e $ \pi $ la proiezione di centro p. Questa esprime S come un rivestimento ramificato di $ \mathbb{P}^2 $ a d fogli (un piano d-uplo).

Innanzitutto una formula generale, che è una generalizzazione di Riemann-Hurwitz per le curve. Sia $ f \colon X \rightarrow Y $ una mappa finita tra varietà proiettive lisce. Sia $ D \subset X $ il divisore di ramificazione; localmente D è il luogo di zeri del determinante di df. Siccome $ df \colon TX \rightarrow f^{*} TY $, il suo determinante è una sezione di $ K_X - f^{*} K_Y $. Da tutto questo concludiamo la simpatica formula di Riemann-Hurwitz generale

$ K_X = f^{*} K_Y + D $.

Ora applichiamo tutto questo a $ \pi \colon S \rightarrow \mathbb{P}^2 $. Sia $H$ la classe iperpiana su $ \mathbb{P}^3 $, o anche la sua restrizione a S. Siccome la proiezione è lineare (la controimmagine di una retta è un piano) H è anche $ \pi^{*} $ della classe iperpiana su $ \mathbb{P}^2 $.

Adesso calcoliamo $K_S$ in due modi. Per aggiunzione si trova $ K_S = (-4 + d)H $ e dalla formula di prima troviamo che $ K_S = -3 H + C $. Mettendole insieme viene fuori $ C = (d-1)H $ ristretto a S, in particolare C ha grado d(d-1). Lo so che si calcola più facilmente, ma in questo modo troviamo anche altre informazioni.

Innanzitutto possiamo calcolare per aggiunzione anche $ K_C = (-4 + d + d -1)H = (2d-5)H $, cioè il grado del canonico di C è d(d-1)(2d-5). Da Riemann-Roch viene che il genere è $ 1 + \frac{ d(d-1)(2d-5)}{2} $.

Continuo domani, che è arrivato il diluvio fuori. Ciao

[Nonno Bassotto]

Ok, in realtà mi sembra tutto più semplice, puoi ignorare la gran parte di quello che ho detto ieri.

Allora, sia $ F(x_0, \dots, x_3) = 0 $ l'equazione di S. Siano $ (p_0, \dots, p_3) $ le coordinate di p. Il punto p sta sul tangente a S nel punto x se e solo se $ G(x_0, \dots, x_3) = \sum_{i=0}^{3} \frac{\partial F}{\partial x_i}(x_0, \dots, x_3) p_i = 0 $.

Perciò C è l'intersezione di V(F) e V(G), e ha grado d(d-1). Questo penso che fosse il metodo che avevi usato tu. A questo punto vogliamo contare quante tangenti a C conduciamo da p. Dato un punto x in C, il tangente $ T_x C = T_x S \cap T_x V(G) $. Ma sappiamo già che $ p \in T_x S $, perciò la retta xp è tangente a C in x se e solo se $ H(x_0, \dots, x_3) = sum_{i=0}^{3} \frac{\partial G}{\partial x_i}(x_0, \dots, x_3) p_i = 0 $. Il luogo dei punti che soddisfano tutte e tre le equazioni è un insieme finito contenente d(d-1)(d-2) punti.

Naturalmente tutto quello che dico vale solo per p generico. Quindi ora abbiamo contato le tangenti per p a C. Adesso vogliamo contare le corde.

Per far questo calcoliamo come sopra il genere $ g(C) = 1 + \frac{d(d-1)(2d-5)}{2} $.

Sia C' la proiezione di C. Allora C' è una curva piana singolare, birazoinale a C, di grado d(d-1) (lo stesso di C). Se p è generico le uniche singolarità sono nodi e cuspidi. I nodi vengono quando due punti di C hanno la stessa immagine, mentre le cuspidi sono le proiezioni dei punti di tangenza.

Poiché abbiamo già contato le cuspidi, non ci resta che contare i nodi. C'è una formula che permette di calcolare il genere di una curva piana noto il grado e le singolarità. Per genere intendiamo il genere di una curva liscia birazionale a lei, ad esempio la formula applicata a C' restituisce il genere di C. La formula è
$ g(C) = \frac{e(e-1)}{2} - #\{\text{nodi di }C' \} - #\{\text{cuspidi di }C' \} $. Qui e è il grado di C', ovvero d(d-1).

Nel nostro caso abbiamo già calcolato tutto e la formula ci dà il numero di nodi di C', che sono in corrispondenza biunivoca con le corde di C passanti per p. Prova a sostituire e vedi, non ho fatto il conto ma si dovrebbe ottenere la formula di Segre.

Fammi sapere se si è capito qualcosa di tutto lo sproloquio, ciao.

[DarkSepiroth]

Ok, diciamo che la versione 'ridotta' del secondo messaggio mi è più chiara rispetto a quella più astratta, anche se per farmi un'idea cercherò qualcosina riguardante anche quella.
Anzi, grazie davvero perchè alcuni numeri e formule in un articolo come quello del 1930 erano incomprensibili senza un minimo di spiegazione.
Ora però mi sorge un dubbio:
sarà anche una mia sega mentale, ma come faccio a dimostrare che la curva di ramificazione sulla superficie (se la superficie ovviamente è fatta bene cioè liscia o con singolarità ordinarie) è irriducibile? Secondo te si può fare 'a mano', senza usare strumenti molto sofisticati come la teoria dei divisori canonici,formule di aggiunzione, nef, divisori ampi?

[DarkSepiroth]

tra l'altro ho provato a provare l'irriducibilità di R per assurdo ma non mi riesce...

[Nonno Bassotto]

Scusa, non ho più avuto tempo di capitare sull'Oliforum in questi giorni, e anche adesso ne ho poco. Quando sono più libero ci penso, se ti serve ancora. Ciao

[DarkSepiroth]

Certo, tranquillo.
Pensaci, e se ti viene qualche idea, postala. Io continuo a pensarci, ma non mi viene in mente nessuna soluzione...