dubbio sui limiti

[Maioc92]

studiando i limiti delle successioni ho trovato una dimostrazione di questo tipo:
il libro vuole dimostrare che una progressione geometrica di ragione maggiore di 1 diverge a $ +\infty $. Per farlo dice che ovviamente è una successione monotona crescente ed essendo tale per il teorema sui limiti delle successioni monotone ha limite.
Poi arriva la parte che non mi convince:
sia b_n l'ennesimo termine della successione,ossia $ b_n=a^n $.Ovviamente si ha $ b_{n+1}=ab_n $.
Supponiamo che abbia limite finito $ l $, allora $ \displaystyle lim_{n\rightarrow\infty}b_n=l $. Ma anche $ \displaystyle lim_{n\rightarrow\infty}b_{n+1}=l $. Quindi avremmo $ l=al $ che porta ad un assurdo.

Questa dimostrazione non mi convince troppo perchè provando ad applicare lo stesso metodo ad altre successioni (ad esempio $ \sqrt[n]{2n} $,che dovrebbe convergere a 1) la cosa non funziona.
Qualcuno può chiarirmi questo dubbio??Premetto che il resto dell'argomento ormai lo conosco tutto, è solo questa cosa che non mi è del tutto chiara....

[Tibor Gallai]

provando ad applicare lo stesso metodo ad altre successioni (ad esempio $ \sqrt[n]{2n} $,che dovrebbe convergere a 1) la cosa non funziona.

Il metodo si applica soltanto a particolari successioni definite per ricorrenza (nemmeno a tutte!), quindi non puoi applicarlo direttamente a $ $a_n=\sqrt[n]{2n} $. Sei sicuro di avere capito il metodo? Come lo applicheresti in questo caso?

[Maioc92]

beh in questo caso si ha $ a_{n+1}=\sqrt[n+1]{a_n^n+2} $ giusto? Quindi pongo $ l=\sqrt[n+1]{l^n+2} $, o almeno mi pare di aver capito che sia cosi (purtroppo il mio libro non è molto prolisso nelle spiegazioni ). E' solo che in questo modo non ottengo nulla

[SkZ]

ora che succede al membro di dx per $ ~n\to\infty $?

[dario2994]

Maioc... qua potrei sparare cazzate come al mio solito... ma quel limite mi pare abbia come soluzione 1 xD
Per dimostrarlo (come suggerito da SkZ) basta notare che la radice infinitesima di 3 è ovviamente 1... (ho sostituito l=1)

[Tibor Gallai]

Quindi pongo $ l=\sqrt[n+1]{l^n+2} $

Non ha senso, questo passaggio. Ed infatti l'uguaglianza è falsa per ogni $ $n $...
Il tuo libro ha calcolato il limite di $ \{$a\cdot b_n\} $ in 2 modi diversi:
$ $\lim a\cdot b_n = \lim b_{n+1} = \ell $
$ $\lim a\cdot b_n = a\cdot \lim b_n = a\cdot \ell $
Per fare le cose nello stesso modo, dovresti calcolare in 2 modi diversi il limite di qualcosa. Di che cosa? Boh. Niente, in questo caso... Il metodo non si applica.

P.S. Dire che quell'uguaglianza ha senso è un errore, perché non è mai vera. E' un'uguaglianza al limite, ma i limiti fatti "a pezzi" in quel modo sono rischiosi in generale... Non so se mi spiego.

[dario2994]

Quindi pongo $ l=\sqrt[n+1]{l^n+2} $

Non ha senso, questo passaggio. Ed infatti l'uguaglianza è falsa per ogni $ $n $...
Il tuo libro ha calcolato il limite di $ $a\cdot b_n $ in 2 modi diversi:
$ $\lim a\cdot b_n = \lim b_{n+1} = \ell $
$ $\lim a\cdot b_n = a\cdot \lim b_n = a\cdot \ell $
Per fare le cose nello stesso modo, dovresti calcolare in 2 modi diversi il limite di qualcosa. Di che cosa? Boh. Niente, in questo caso... Il metodo non si applica.

P.S. Dire che quell'uguaglianza ha senso è un errore, perché non è mai vera. E' un'uguaglianza al limite, ma i limiti fatti "a pezzi" in quel modo sono rischiosi in generale... Non so se mi spiego.

Tibor... ma a me pare che lui abbia applicato proprio quel metodo... ha calcolato il limite in 2 modi diversi... ora se quel coso abbia soluzione non saprei esserne sicuro... dato che la mia quasidimostrazione è tutto tranne che formale xD

[Tibor Gallai]

ha calcolato il limite in 2 modi diversi...

Di grazia, il limite di che cosa?
Ricordo che il limite di una successione di numeri è un numero.

Quindi bisogna chiarire di quale successione ha calcolato il limite. Diciamo di $ $\{a_{n+1}\} $. Da una parte allora c'è ovviamente e giustamente $ $\ell $, e dall'altra dovrebbe esserci una fantomatica altra espressione per lo stesso limite. E questa espressione, in quanto limite, deve definire un numero. Ma quell'espressione là a destra è tutto fuorché un numero.

[Maioc92]

ok, questo mi chiarisce un po' le idee. Comunque sono d'accordo sul fatto che sia pericoloso, infatti mi ha dato una brutta impressione la prima volta che l'ho visto!!
Tanto per verificare se ho capito bene:
considero la successione $ \displaystyle b_n=\frac{a^n}{n!} $.
E' facile dimostrare che almeno definitivamente è decrescente, per cui è anche limitata superiormente, e quindi ha limite finito.
Calcolo il limite di $ \displaystyle b_n\frac{a}{(n+1)} $:
$ \lim b_{n+1}=l $
$ \displaystyle \lim b_n*\lim\frac{a}{(n+1)}=l* \lim\frac{a}{(n+1)} $
li eguaglio e suppongo l diverso da 0, allora ho che il limite di $ \frac{a}{(n+1)} $ è 1, mentre invece è 0. Quindi l=0
Può andare in questo modo??Se va bene allora mi è abbastanza chiaro quando posso usarlo e quando no. Grazie davvero

Altro discorso:a parte questa tecnica per calcolare un limite conosco solo la tecnica derivante dalla definizione, ovvero quella di provare che definitivamente vale $ |a_n-l|\le\epsilon $ per qualsiasi epsilon, che però richiede spesso molti artifizi e non sempre funziona. Esiste una tecnica diciamo "standard" da usare in tutte (o quasi) le situazioni?

[Tibor Gallai]

E' facile dimostrare che almeno definitivamente è decrescente, per cui è anche limitata superiormente, e quindi ha limite finito.

Per dire che ha limite finito, ti serve che sia limitata inferiormente, non superiormente. In questo caso è limitata inferiormente perché è positiva (posto che $ $a>0 $, che hai già assunto perché hai parlato di decrescenza).

Può andare in questo modo??

Sì.

Esiste una tecnica diciamo "standard" da usare in tutte (o quasi) le situazioni?

A seconda di come definisci la domanda, ti si risponde di sì o di no. Ma è un argomento da MNE, di cui tra l'altro non so quasi nulla... E' parecchio intricata la questione, e ci vuole un Logico.
Comunque esistono cose come il teorema dei 2 carabinieri, un sacco di teoremi di Cesaro, e molto altro ancora che penso sia tutto scritto sul tuo libro...

[Maioc92]

E' facile dimostrare che almeno definitivamente è decrescente, per cui è anche limitata superiormente, e quindi ha limite finito.

Per dire che ha limite finito, ti serve che sia limitata inferiormente, non superiormente. In questo caso è limitata inferiormente perché è positiva (posto che $ $a>0 $, che hai già assunto perché hai parlato di decrescenza).

è vero, volevo solo abbondare con le limitazioni
Il fatto che fosse maggiore di 0 ovviamente l'avevo considerato, ma non scritto perchè abbastanza evidente.

Comunque il teorema dei carabinieri lo conosco, è applicarlo che non è sempre immediato...i teoremi di Cesaro non ho idea di cosa siano ma può essere che li includa più avanti (a volte dei capitoli sono ripresi in modo ancora più dettagliato in seguito). E io che speravo in un metodo universale
Vabbè a questo punto non mi rimane che proseguire nel mio studio, quindi grazie per le delucidazioni varie.
Probabilmente tra 1 mesetto mi rivedrete in questa sezione con qualche nuovo dubbio (magari sulle derivate) per cui tenetevi liberi da impegni.....

[Tibor Gallai]

Comunque sono d'accordo sul fatto che sia pericoloso, infatti mi ha dato una brutta impressione la prima volta che l'ho visto!!

Un'ultima cosa per chiarire: non ho detto che sia pericoloso calcolare un limite in 2 modi, né che quel criterio di dimostrazione sia pericoloso!

Ho detto che fare i limiti "a pezzi" è pericoloso, perché non sempre funziona. "A pezzi" significa questo: supponiamo definita $ $a_n=f(b_n,n) $. Supponiamo anche che $ $\{b_n\} $ converga al limite finito $ $\ell $. Allora è in generale ERRATO (ma proprio vi ammazzano, attenti!) dire che $ $\lim a_n = \lim f(\ell, n) $. Ovvero ciò che hai fatto nel tuo esempio. Lì ha funzionato perché Allah era con te, ma in generale fallisci.

Esempio banale:
$ $b_n=\frac{n-1}{n} $, che converge a $ $\ell=1 $. Poni $ $a_n=\lfloor b_n \rfloor $ (la parte intera di $ $b_n $...). E' vero che $ $\lim a_n = \lim \lfloor b_n \rfloor = \lfloor \ell \rfloor $?

Altro esempio banale con $ $f(x,n) $ continua rispetto a $ $x $:
$ $b_n=\frac{1}{n} $, che converge a $ $\ell=0 $. Poni $ $a_n=n\cdot b_n $. E' vero che $ $\lim a_n = \lim (n\cdot b_n) = \lim (n\cdot \ell) $?

[Maioc92]

più che allah, mi ha aiutato il fatto che i limiti fossero entrambi finiti, e che il limite del prodotto di due successioni con limite finito è il prodotto dei limiti. Invece nei casi che hai riportato non funziona perchè si compiono operazioni non lecite, come portare "fuori" dal limite la parte intera (pura pazzia, come hai fatto notare) e nel secondo caso, spezzare il limite del prodotto di due successioni di cui una è divergente, cosa che ovviamente non si può fare

[SkZ]

Io lo chiamerei "funzione continua monotona"