Composizione di funzioni

[SARLANGA]

Siano $ \displaystyle \varphi :A \rightarrow B $ e $ \displaystyle \theta :B \rightarrow C $, trovare condizione necessaria [rispettivamente sufficiente] affinchè $ \displaystyle \theta \circ \varphi $ sia iniettiva oppure suriettiva.

[SARLANGA]

vediamo se va bene:
per la condizione sufficiente, posso prendere le 2 funzioni $ \displaystyle \varphi $ e $ \displaystyle \theta $ entrambe iniettive (nel primo caso) e entrambe suriettive (nel secondo caso).
Per la condizione necessaria mi pare che prendendo 2 funzioni inettive si ha sempre una funzione composta iniettiva e lo stesso vale per la suriettività...
Oppure è meglio ragionare sulla cardinalità? Cioè (faccio solo il primo caso della iniettività) si può dire che:
$ \displaystyle \arrowvert A \arrowvert \leq \arrowvert B \arrowvert \wedge \arrowvert B \arrowvert \leq \arrowvert C \arrowvert \Rightarrow \arrowvert A \arrowvert \leq \arrowvert C \arrowvert $

[Tibor Gallai]

La mia opinione non vale molto, ma penso che tu non sappia cos'è una cardinalità, ed inoltre non siamo in MNE, dove questa roba dovrebbe stare (se si vogliono tirare in ballo cardinalità, e non so a che scopo). Per giunta, sembri fare confusione sul significato di "necessario" e "sufficiente".

Piuttosto, il fatto notevole e talvolta olimpicamente rilevante è che f°g iniettiva implica f iniettiva, e f°g suriettiva implica g suriettiva.

[SARLANGA]

non siamo in MNE, dove questa roba dovrebbe stare (se si vogliono tirare in ballo cardinalità, e non so a che scopo). Per giunta, sembri fare confusione sul significato di "necessario" e "sufficiente".

Cos'è MNE? Matematica Non Elementare? Se è così non credo proprio che quello sarebbe il suo posto, perchè qui si parla di cose fondamentalmente elementari.
La cardinalità qui c'entra (se come dici te ce la vogliamo mettere) perchè:
$ \displaystyle \varphi :A \rightarrow B $ iniettiva $ \displaystyle \Rightarrow \arrowvert A \arrowvert \leq \arrowvert B \arrowvert $.
Su necessario e sufficiente l'equivoco nasce da quel rispettivamente (cioè non mi sono spiegato bene sui casi da prendere).
Detto questo, idee?

[Tibor Gallai]

No tranquillo, volevo solo capire fino a che punto stai trollando. Perché c'è gente che si diverte a sparare assurdità del genere, senza senso e senza posa, con l'intento di far sclerare il forum.
Se non è il tuo caso, scusami e buona ricerca.

[Ani-sama]

Sarlanga, in realtà non ha molto senso tirare in ballo le cardinalità, ma per il semplice fatto che fondamentalmente si definiscono prima le funzioni e poi, mediante il concetto di funzione, il concetto di equipotenza o "cardinalità più piccola/più grande". Peraltro, dati due insiemi $ A $ e $ B $, uno dice che (per definizione!) $ |A| \leq |B| $ se esiste una funzione iniettiva $ f: A \to B $. Quindi, attenzione! È vero che, se $ f: A \to B $ è iniettiva, allora (per definizione) $ |A| \leq |B| $. Ma se supponi $ |A| \leq |B| $, sai solo che c'è una funzione iniettiva da $ A $ a $ B $, ma non puoi certo sperare di dire qualcosa sulla $ f $...

[Tibor Gallai]

Sempre per chiarire, parlando di "confusione su condizioni necessarie/sufficienti", mi riferivo a questo:

Per la condizione necessaria mi pare che prendendo 2 funzioni inettive si ha sempre una funzione composta iniettiva e lo stesso vale per la suriettività...

Queste sono esattamente le condizioni che hai citato poco sopra come condizioni sufficienti, quindi o sono condizioni sia necessarie che sufficienti (falso...) o c'è qualche problemino.

[SARLANGA]

Per la condizione necessaria mi pare che prendendo 2 funzioni inettive si ha sempre una funzione composta iniettiva e lo stesso vale per la suriettività...

Queste sono esattamente le condizioni che hai citato poco sopra come condizioni sufficienti, quindi o sono condizioni sia necessarie che sufficienti (falso...) o c'è qualche problemino.

Si, hai ragione, difatti le condizioni necessarie non le ho ancora esattamente trovate...
@Ani-sama: ti ringrazio per la chiarificazione sia sulla cardinalità che sulla iniettività, ma quel concetto mi era chiaro.
Detto questo, nessuno che prova a fare ordine sulla soluzione di questo esercizio? Ditemi, almeno le condizioni sufficienti andavano bene? Certamente se ne possono trovare altre...
Ma per le condizioni necessarie? Un aiutino

[Tibor Gallai]

Ma santi numeri, è proprio questo il punto: non esiste una soluzione al problema!!
Ora te lo dico chiaro e tondo ben sapendo che su questo forum è vietato e molti si incazzeranno, ma siccome perseveri e credo nella tua buona fede, non vedo altre strade: la tua domanda è mal posta. Più presto accetterai questo fatto, più presto risolverai il tuo cruccio.
Finché cerchi "LA soluzione", "LE condizioni nec./suff." non caverai un ragno dal buco.

La definizione di X è una condizione necessaria e sufficiente per X. Qualsiasi proposizione che implichi X è una condizione sufficiente per X. Qualsiasi proposizione implicata da X è una condizione necessaria per X.
Per ogni condizione necessaria (risp. sufficiente) per X ne esistono infinite altre, dimostrabili più o meno banalmente, non dimostrabili, etc.

Detto questo, se tu poni una domanda come quella che hai posto, non puoi sperare che qualcuno ti dia una risposta esaustiva. Uno può dirti che condizione necessaria e sufficiente per f°g iniettiva è che sia iniettiva f e sia iniettiva la restrizione di g all'immagine di f. Ma questa sarebbe una banale parafrasi della definizione, e allora tanto varrebbe ripeterti la definizione stessa.

Che tipo di risposta vuoi sentirti dare?? Se ben definisci la domanda, magari si può provare a risponderti. Tutto questo te lo dico confidando nella tua buona fede... Se sei l'ennesimo troll provocatore che vuole farmi punire dagli admin per maltrattamenti, ci sei probabilmente riuscito.

[SARLANGA]

Finché cerchi "LA soluzione", "LE condizioni nec./suff." non caverai un ragno dal buco.

Ditemi, almeno le condizioni sufficienti andavano bene? Certamente se ne possono trovare altre...
Ma per le condizioni necessarie? Un aiutino Wink

Forse non hai letto il mio post precedente...Lì pensavo di aver chiarito la domanda (effettivamente mal posta). L'esercizio chiede di indicare una condizione sufficiente affinchè ecc... ed una condizione necessaria affinchè ecc... Chiedo scusa se ho usato in modo improprio il rispettivamente tra parentesi quadre, col quale volevo indicare i due esercizi differenti. Credo di aver imparato che talvolta conviene ripetersi, a scanso di noiosi equivoci.

Tutto questo te lo dico confidando nella tua buona fede... Se sei l'ennesimo troll provocatore che vuole farmi punire dagli admin per maltrattamenti, ci sei probabilmente riuscito.

Riguardo al mio presunto troll, sono ora convinto del fatto che la differenza limite tra una persona che fa spam a caso per rovinare i forum ed una con conoscenze inferiori a coloro che frequentano il forum tende a 0.

[Tibor Gallai]

Forse non hai letto il mio post precedente...

A proposito di leggere post precedenti: leggi l'ultima riga del mio primo post.
Sono condizioni necessarie per f°g iniettiva e per f°g suriettiva. Se dopo quello continui a richiedere condizioni necessarie come se niente fosse, ne deduco che non ti vanno bene. E allora che cappero vuoi?!?!? Trollare? Non si capisce cosa vuoi, giuro!

L'esercizio chiede di indicare una condizione sufficiente affinchè ecc... ed una condizione necessaria affinchè ecc... Chiedo scusa se ho usato in modo improprio il rispettivamente tra parentesi quadre, col quale volevo indicare i due esercizi differenti. Credo di aver imparato che talvolta conviene ripetersi, a scanso di noiosi equivoci.

Ma non c'era il minimo dubbio, infatti non ho mai obiettato su quello! La domanda è scritta in Italiano, ergo si capisce. E' tutto il discorso successivo alla domanda ad essere nonsense completo.

[SARLANGA]

Sono condizioni necessarie per f°g iniettiva e per f°g suriettiva. Se dopo quello continui a richiedere condizioni necessarie come se niente fosse, ne deduco che non ti vanno bene. E allora che cappero vuoi?!?!? Trollare? Non si capisce cosa vuoi, giuro!

Ooooook, ho letto le tue condizioni necessarie...perfetto: è quello che volevo, solo che mi sono perso la spiegazione. Di solito quando si chiede un esempio, non lo si dà così crudo e risicato all'ultima riga di un post
Quello che mi manca ora è solo una conferma sugli esempi di condizioni sufficienti che ho dato...per voi saranno banali, ma non lo è per me.

[Tibor Gallai]

per la condizione sufficiente, posso prendere le 2 funzioni $ \displaystyle \varphi $ e $ \displaystyle \theta $ entrambe iniettive (nel primo caso) e entrambe suriettive (nel secondo caso).

Questo è ok. Tutto il resto, o non lo capisco, o è errato.

[SkZ]

Sarlanga, scusa, ma e' il testo di un compito?
Parli di esrcizio. E se e' cosi' non e' carino chiedere la soluzione di compiti.

Piuttosto, il fatto notevole e talvolta olimpicamente rilevante è che f°g iniettiva implica f iniettiva, e f°g suriettiva implica g suriettiva.

ecco 2 condizioni necessarie fornite al 3o post (primo di Tibor)

SE a ALLORA b
a=condizione sufficiente
b=condizione necessaria

[SARLANGA]

Sarlanga, scusa, ma e' il testo di un compito?
Parli di esrcizio. E se e' cosi' non e' carino chiedere la soluzione di compiti.

Io ho solo postato un esercizio, tra l'altro risultato proficuo per me...Non si può? Non è forse questo lo scopo del forum? Non ai postano problemi e esercizi? Se ti riferisci al livello di difficoltà, forse è vero, a voi sarà parso più che semplice, ma per me le condizioni necessarie non erano facili da trovare.